【題目】拋物線y=ax2+bx﹣5的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中點A坐標(biāo)為(﹣1,0),一次函數(shù)y=x+k的圖象經(jīng)過點B、C.
(1)試求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式;
(2)如圖1,點D(2,0)為x軸上一點,P為拋物線上的動點,過點P、D作直線PD交線段CB于點Q,連接PC、DC,若S△CPD=3S△CQD,求點P的坐標(biāo);
(3)如圖2,點E為拋物線位于直線BC下方圖象上的一個動點,過點E作直線EG⊥x軸于點G,交直線BC于點F,當(dāng)EF+CF的值最大時,求點E的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣4x﹣5,y=x﹣5;(2)(,)或(,)或(2,﹣9)或(3,﹣8);(3)E(3,﹣8)
【解析】
(1)首先確定點C的坐標(biāo),代入一次函數(shù)求出k,可得點B的坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣5)=ax2﹣4ax﹣5a,構(gòu)建方程求出a即可解決問題.
(2)分兩種情形:①當(dāng)點P在直線BC的上方時,如圖2﹣1中,作DH∥BC交y軸于H,過點D作直線DT交y軸于T,交BC于K,作PT∥BC交拋物線于P,直線PD交拋物線于Q.②當(dāng)點P在直線BC的下方時,如圖2﹣2中,分別求解即可解決問題.
(3)設(shè)E(m,m2﹣4m﹣5),則F(m,m﹣5),構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣5的圖象與y軸交于點C,
∴C(0,﹣5),
∵一次函數(shù)y=x+k的圖象經(jīng)過點B、C,
∴k=﹣5,
∴B(5,0),
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣5)=ax2﹣4ax﹣5a,
∴﹣5a=﹣5,
∴a=1,
∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣4x﹣5,一次函數(shù)的解析式為y=x﹣5.
(2)①當(dāng)點P在直線BC的上方時,如圖2﹣1中,作DH∥BC交y軸于H,過點D作直線DT交y軸于T,交BC于K,作PT∥BC交拋物線于P,直線PD交拋物線于Q.
∵S△CPD=3S△CQD,
∴PD=3DQ,
∵PT∥DH∥BC,
∴,
∵D(2,0),B(5,0),C(﹣5,0),
∴OA=OB=5,OD=OH=2,
∴HC=3,
∴TH=9,OT=7,
∴直線PT的解析式為y=x+7,
由,解得或,
∴P(,)或(,),
②當(dāng)點P在直線BC的下方時,如圖2﹣2中,
當(dāng)點P與拋物線的頂點(2,﹣9)重合時,PD=9.DQ=3,
∴PQ=3DQ,
∴S△CPD=3S△CQD,
過點P作PP′∥BC,此時點P′也滿足條件,
∵直線PP′的解析式為y=x﹣11,
由,解得或,
∴P′(2,﹣9),P′(3,﹣8),
綜上所述,滿足條件的點P的坐標(biāo)為(,)
或(,)或(2,﹣9)或(3,﹣8).
(3)設(shè)E(m,m2﹣4m﹣5),則F(m,m﹣5),
∴EF=(m﹣5)﹣(m2﹣4m﹣5)=5m﹣m2,CF=m,
∴EF+CF=﹣m2+6m=﹣(m﹣3)2+9,
∵﹣1<0,
∴m=3時,EF+CF的值最大,此時E(3,﹣8).
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【題目】如圖1和圖2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段AC的兩個端點均在小正方形的頂點上.
(1)在圖1中畫出以AB為斜邊的直角三角形ABC,點C在小正方形的頂點上,且;
(2)在圖2中畫出以AB為一邊的等腰三角形ABD,點D在小正方形的頂點上,且的面積為16.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點,點A在點B左側(cè),頂點在折線M﹣P﹣N上移動,它們的坐標(biāo)分別為M(﹣1,4)、P(3,4)、N(3,1).若在拋物線移動過程中,點A橫坐標(biāo)的最小值為﹣3,則a﹣b+c的最小值是_____.
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【題目】綜合與實踐
操作發(fā)現(xiàn):
如圖1和圖2,已知點為正方形的邊和上的一個動點(點,,除外),作射線,作于點,于點,于點.
(1)如圖1,當(dāng)點在上(點,除外)運動時,求證:;
(2)如圖2,當(dāng)點在上(點,除外)運動時,請直接寫出線段,,之間的數(shù)量關(guān)系;
拓廣探索:
(3)在(1)的條件下,找出與相等的線段,并說明理由;
(4)如圖3,若點為矩形的邊上一點,作射線,作于點,于點,于點.若,,則_______.
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【題目】如圖,在⊙O中,直徑AB=10,tanA=.
(1)求弦AC的長;
(2)D是AB延長線上一點,且AB=kBD,連接CD,若CD與⊙O相切,求k的值;
(3)若動點P以3cm/s的速度從A點出發(fā),沿AB方向運動,同時動點Q以cm/s的速度從B點出發(fā)沿BC方向運動,設(shè)運動時間為t (0<t<),連結(jié)PQ.當(dāng)t為何值時,△BPQ為Rt△?
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【題目】觀察下表:
序號 | 1 | 2 | 3 | … |
圖形 | … |
我們把某格中字母和所得到的多項式稱為特征多項式,例如:
第1格的“特征多項式”為;
第2格的“特征多項式”為.
回答下列問題:
(1)第3格的“特征多項式”為________________,
第4格的“特征多項式”為______________________,
第格的“特征多項式”為___________________;
(2)若第1格的“特征多項式”的值為,第2格的“特征多項式”的值為,求的值;
(3)在(2)的條件下,第格的特征多項式的值為,則直接寫出的值;若沒有,請說明理由.
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【題目】某學(xué)校初一、初二年級各有500名學(xué)生,為了解兩個年級的學(xué)生對消防安全知識的掌握情況,學(xué)校從初一、初二年級各隨機抽取20名學(xué)生進行消防安全知識測試,滿分100分,成績整理分析過程如下,請補充完整:
(收集數(shù)據(jù))
初一年級20名學(xué)生測試成績統(tǒng)計如下:
78 56 74 81 95 75 87 70 75 90 75 79 86 60 54 80 66 69 83 97
初二年級20名學(xué)生測試成績不低于80,但是低于90分的成績?nèi)缦拢?/span>
83 86 81 87 80 81 82
(整理數(shù)據(jù))按照如下分?jǐn)?shù)段整理、描述兩組樣本數(shù)據(jù):
成績 | 0 | ||||
初一 | 2 | 3 | 7 | 5 | 3 |
初二 | 0 | 4 | 5 | 7 | 4 |
(分析數(shù)據(jù))兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表所示:
年級 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
初一 | 76.5 | 76.5 | 132.5 | |
初二 | 79.2 | 74 | 100.4 |
(1)直接寫出,的值;
(2)根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),估計初一年級消防安全知識測試成績在70分及其以上的大約有多少人?
(3)通過以上分析,你認(rèn)為哪個年級對消防安全知識掌握得更好,并說明推斷的合理性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交與A(4,-2),B(-2,n)兩點,與軸交與點C.
(1)求,n的值;
(2)請直接寫出不等式的解集;
(3)點A關(guān)于軸對稱得到點A’,連接A’B,A’C,求△A’BC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,點M是AC邊上任意一點,連接MB,以MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是______
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