Question

【題目】（1）如圖1，長方形ABCD中分別沿AF、CE將AC兩側(cè)折疊，使點B、D分別落在AC上的G、H處，則線段AE______CF．（填“＞”“＜”或“=”）

（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=10cm，BF=6cm，AF=8cm，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．

①若點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，設(shè)運動時間為t秒．當(dāng)點P在FB上運動，而點Q在DE上運動時，若四邊形APCQ是平行四邊形，求此時t的值．

②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），利用備用圖探究，當(dāng)a與b滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形APCQ是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）①秒；②a+b=24（ab≠0）

【解析】

（1）根據(jù)內(nèi)錯角相等得出AF∥CE，由兩對應(yīng)邊互相平行得出AFCE是平行四邊形，即可得出AE=CF；

（2）①當(dāng)P點在BF上，Q點在ED上時，能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，列出方程求解即可；

②分三種情況：當(dāng)點P在AF上，Q點在CE上時，AP=CQ；當(dāng)點P在BF上，Q點在DE上時，AQ=CP；當(dāng)點P在AB上，Q點在CD上時，AP=CQ，分別得出a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．

解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠BAC=∠DCA，

由折疊的性質(zhì)可知，∠FAC=∠BAC=∠DCA=∠ECA，

∴AF∥CE，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∴AE=CF．

故答案為：=；

（2）①∵在平行四邊形ABCD中，△ABF≌△CDE，

∴AE=CF，BF=DE=6cm，AB=CD=10cm，

∵如圖2，當(dāng)P點在BF上，Q點在ED上，以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，

∴FP=EQ，

∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，

∴PF=5t-8，QE=16-4t，

∴5t-8=16-4t，

解得t=，

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=秒；

②由題意得，以A，C，P，Q四點的四邊形是平行四邊形時，點P、Q在相互平行的對邊上，

分三種情況：

Ⅰ．如圖3，當(dāng)點P在AF上，Q點在CE上時，AP=CQ，

即a=24-b，得：a+b=24；

Ⅱ．如圖4，當(dāng)點P在BF上，Q點在DE上時，AQ=CP，

又∵AE=CF，

∴EQ=FP，

即16-b=a-8，得a+b=24；

Ⅲ．如圖5，當(dāng)點P在AB上，Q點在CD上時，AP=CQ，

即24-a=b，得a+b=24．

綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=24（ab≠0）．