Question

如圖拋物線y=x²-（a+1）x+a交x軸于A（1，0）、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)．
（1）若S_△ABC=3，求拋物線解析式．
（2）在（1）的條件下，將直線AC繞平面內(nèi)一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°交拋物線于M、N兩點(diǎn)，（M在N左側(cè)）若MN=AC時(shí)，求M、N坐標(biāo)．
（3）若對(duì)稱軸交線段BC于P，交AB于S，動(dòng)點(diǎn)T在對(duì)稱軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，直線AT交BC于Q，設(shè)TS=b，且PB²=PQ•PC，求b與a之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由y=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），可知B（a，0），C（0，a），則AB=a-1，由S_△ABC=

1

2

×AB×OC=3求a，由對(duì)稱軸x=-

a+1

2

＞1檢驗(yàn)a的值，確定拋物線解析式；
（2）將直線AC旋轉(zhuǎn)90°到MN的位置，使MN=AC，MN⊥AC，過(guò)N點(diǎn)作ND⊥x軸，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥ND，垂足分別為D、E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△MEN≌△COA，設(shè)M（m，m²-4m+3），利用線段之間的關(guān)系表示N點(diǎn)坐標(biāo)，列方程求m即可；
（3）連接PA、TB，由拋物線的對(duì)稱性得PA=PB，∠PAQ=∠PBT，結(jié)合已知可證△PAQ∽△PCA，得∠PAQ=∠PCA，可證BT∥AC及△CAO∽△TBS，利用相似比求a、b的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵y=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
∴B（a，0），C（0，a），AB=a-1，
由S_△ABC=

1

2

×AB×OC=3，得

1

2

（a-1）a=3，
解得a=3或-2，
又對(duì)稱軸x=

a+1

2

＞1，
∴a=3，
∴y=x²-4x+3；

（2）如圖，將直線AC旋轉(zhuǎn)90°到MN的位置，使MN=AC，MN⊥AC，
過(guò)N點(diǎn)作ND⊥x軸，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥ND，垂足分別為D、E，
易證△MEN≌△COA，
∴ME=OC=3，NE=OA=1，設(shè)M（m，m²-4m+3），
則N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m+3，縱坐標(biāo)為（m+3）²-4（m+3）+3=m²+2m，
∴（m²+2m）-（m²-4m+3）=1，
解得m=

2

3

，
∴M（

2

3

，

7

9

），N（

11

3

，

16

9

）；

（3）如圖，連接PA，TB，由拋物線的對(duì)稱性可知PA=PB，
由PB²=PQ•PC，得PA²=PQ•PC，
∴△PAQ∽△PCA，
∴∠PAQ=∠PCA，根據(jù)拋物線對(duì)稱性可知∠PAQ=∠PBT，
∴BT∥AC，∠CAO=∠TBS，
∴△CAO∽△TBS，
∴

OC

TS

=

OA

SB

，
即

a

b

=

1

a- a+1 2

，
即b=

1

2

a2-

1

2

a，
當(dāng)T點(diǎn)在線段PS上時(shí)，同理可得b=

a-1

2a

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、相似，探究拋物線的對(duì)稱性等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．