【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,將此矩形繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)θ(0<θ<180°)得到矩形A1BC1D1,直線BA1、C1D1分別與直線CD相交于點(diǎn)E、F.
(1)若此矩形繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,求DD1的長;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)D、A1、D1三點(diǎn)共線時,求△BCE的面積;
(3)在矩形ABCD旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在某個位置使得以B、E、F、D1為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,求出CF的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)DD1=;(2)S△BEC=;(3)CF=18.
【解析】
(1)延長DC交C1D1于H,利用矩形的性質(zhì)可得DH和HD1長,由勾股定理求解即可;
(2)連接BD,由HL定理可證△BDA1≌△DBC,設(shè)DE=BE=x,在Rt△BCE中,由勾股定理可知DE長,易知CE長,根據(jù)面積公式求解即可;
(3)由勾股定理可得EF長,根據(jù)tan∠CEB=tan∠EBD1的表示可得EC長,易求CF.
解:(1)如圖1中,延長DC交C1D1于H.
∵四邊形ABCD,四邊形A1BC1D1是矩形,∴∠A=∠ADH=∠AC1H=90°,∴四邊形ADHC1是矩形,∴DH=AC=8+6=14,HC1=AD=6,∠DHC1=∠DHD1=90°,∴HD1=8﹣6=2,∴DD1===.
(2)如圖2中,連接BD.
∵∠DA1B=∠DCB=90°.BD=DB,BA1=DC,∴△BDA1≌△DBC(HL),∴∠DBA1=∠BDC,∴ED=EB,設(shè)DE=BE=x,
在Rt△BCE中,∵BE2=EC2+BC2,∴x2=(8﹣x)2+62,∴x=,∴EC=8﹣=,∴S△BEC=BCEC=×6×=.
(3)如圖3中,存在.
∵四邊形BD1FE是平行四邊形,∴EF=BD1==10.
∵EC∥BD1,∴∠CEB=∠A1BD1,∴tan∠CEB=tan∠EBD1,∴,∴,∴EC=8,∴CF=EC+EF=8=10=18.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司推出一款新產(chǎn)品,通過市場調(diào)研后,按三種顏色受歡迎的程度分別對A顏色、B顏色、C顏色的產(chǎn)品在成本的基礎(chǔ)上分別加價40%,50%,60%出售(三種顏色產(chǎn)品的成本一樣),經(jīng)過一個季度的經(jīng)營后,發(fā)現(xiàn)C顏色產(chǎn)品的銷量占總銷量的40%,三種顏色產(chǎn)品的總利潤率為51.5%,第二個季度,公司決定對A產(chǎn)品進(jìn)行升級,升級后A產(chǎn)品的成本提高了25%,其銷量提高了60%,利潤率為原來的兩倍;B產(chǎn)品的銷量提高到與升級后的A產(chǎn)品的銷量一樣,C產(chǎn)品的銷量比第一季度提高了50%,則第二個季度的總利潤率為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,O為邊AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合),以OC為半徑的圓分別交邊BC,AC于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F.
(1)求證:直線DF是⊙O的切線;
(2)若∠A=45°,OC=2,求劣弧的長.(結(jié)果保留π)
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【題目】為了實(shí)現(xiàn)偉大的強(qiáng)國復(fù)興夢,全社會都在開展掃黑除惡專項(xiàng)斗爭,某區(qū)為了解各學(xué)校老師對掃黑除惡應(yīng)知應(yīng)會知識的掌握情況,對甲、乙兩個學(xué)校各180名老師進(jìn)行了測試,從中各隨機(jī)抽取30名教師的成績(百分制),并對成績(單位:分)進(jìn)行整理、描述和分析,給出了部分成績信息.
甲校參與測試的老師成績在96≤x<98這一組的數(shù)據(jù)是:96,96.5,97,97.5,97,96.5,97.5,96,96.5,96.5,甲、乙兩校參與測試的老師成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表:
學(xué)校 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲校 | 96.35 | m | 99 |
乙校 | 95.85 | 97.5 | 99 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)m=________;
(2)在此次隨機(jī)抽樣測試中,甲校的王老師和乙校的李老師成績均為97分,則他們在各自學(xué)校參與測試的老師中成績的名次相比較更靠前的是________(選填王或李)老師,請寫出理由;
(3)在此次隨機(jī)測試中,乙校96分以上(含96分)的總?cè)藬?shù)比甲校96分以上(含96分)的總?cè)藬?shù)的2倍少100人,試估計(jì)乙校96分以上(含96分)的總?cè)藬?shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為半圓O的直徑,直線CE與半圓O相切于點(diǎn)C,點(diǎn)D是的中點(diǎn),CB=6,四邊形ABCD的面積為AC,則圓心O到直線CE的距離是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,分別以的邊向外作正方形,連接EC、BF,過B作于M,交AC于N,下列結(jié)論:
≌;;;,其中正確的是
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,且,點(diǎn)均在上,的延長線交的延長線于點(diǎn),過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn),連接,,,.
(1)求證:.
(2)填空:
①當(dāng)__________,是等腰直角三角形;
②當(dāng)__________,四邊形是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為1,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,E是BC延長線上一點(diǎn),且AC=EC,連接AE交BD于點(diǎn)P.
(1)求∠DAE的度數(shù);
(2)求BP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形紙片ABCD邊長為6,點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),點(diǎn)G,H分別在AD,AB上,將紙片沿直線GH對折,當(dāng)頂點(diǎn)A與線段EF的三等分點(diǎn)重合時,AH的長為_____.
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