Question

【題目】已知，如圖正方形ABCD中，E為BC上任意一點，過E作EF⊥BC，交BD于F，G為DF的中點，連AE和AG．
（1）如圖1，求證：∠FEA+∠DAG=45°；
（2）如圖2在（1）的條件下，設BD和AE的交點為H，BG=8，DH=9，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：作GM⊥BC于M，連接GE、GC，如圖1，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG，

∴AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，

∵G點為DF的中點，F(xiàn)E⊥BC，GM⊥BC，DC⊥BC，

∴GM為梯形CDFE的中位線，

∴EM=CM，

∴GE=GC，∠5=∠4，

∴GM平分∠EGC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，

∵GM∥CD，

∴∠MGD=180°﹣∠GDC=135°，即∠2+∠DGC=135°，

∴∠AGD+∠3=∠2+∠DGC=135°，

∴∠AGE=90°，

∴△AGE為等腰直角三角形，

∴∠AEG=45°，即∠FEA+∠6=45°，

∴∠FEA+∠DAG=45°；

（2）解：把△ADG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，連接QH，如圖2，

∴∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，

∵∠FEA+∠DAG=45°；

而∠FEA=∠BAE，

∴∠BAE+∠DAG=45°；

∴∠EAG=45°，

∴∠QAE=45°，

在△QAH和△GAH中

，

∴△QAH≌△GAH，

∴HQ=HG，

設BH=x，則HG=BG﹣BH=8﹣x，

∴HQ=8﹣x，

∵DH=BG+DG﹣BH，

∴DG=9﹣8+x=x+1，

∴BQ=x+1，

∵∠ABQ+∠ABD=45°+45°=90°，

∴△BQH為直角三角形，

∴BQ2+BH2=QH2，即（x+1）2+x2=（8﹣x）2，解得x=3，

∴BD=BH+DH=3+9=12，

∴AD= BD=6 ．

【解析】（1）作GM⊥BC于M，連接GE、GC，如圖1，由正方形的性質(zhì)得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，再證明△ADG≌△CDG得到AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，接著利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到GC=GE，∠5=∠4，∠2=∠3，從而得到∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，再證明△AGE為等腰直角三角形得到∠AEG=45°，從而得到∠FEA+∠DAG=45°；（2）把△ADG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，連接QH，如圖2，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，再證明△QAH≌△GAH得到HQ=HG，設BH=x，用x表示出則HG=HQ=8﹣x，BQ=x+1，然后在Rt△BQH中利用勾股定理得到（x+1）2+x2=（8﹣x）2，解得x=3，則BD=BH+DH=12，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AD．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．