Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-3，0)，C(0，3)，交x軸于另一點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，直線CP交x軸于點(diǎn)E，若△CAE與△OCD相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)F在y軸上，點(diǎn)M在直線AC上，那么在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以C，F，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出菱形的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P或；（3）存在菱形，其周長為，或．

【解析】

（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入中求出b，c即可得解；

（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，兩種情況，，從而求出E點(diǎn)坐標(biāo)及CE解析式即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意，分類討論，兩種情況CF為對角線，CF為菱形的一邊，進(jìn)而即可求得菱形的周長.

（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴，解得

此拋物線解析式為：；

（2）∵

∴頂點(diǎn)

∵，，

∴，，，

∴點(diǎn)E只能在A點(diǎn)左邊

①如下圖，若

則

∴

∴

∴

∵

∴

聯(lián)立

∴，（舍去）

∴；

②若

則

∴AE=2

∴

∴

∵

∴

聯(lián)立

∴，（舍去）

得

因此，或；

（3）在拋物線上存在點(diǎn)N，使得以C，F，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形

①若CF為對角線，則CF與NM互相垂直平分時，四邊形CNFM為菱形

∵

∴

∴，四邊形CNFM為正方形

∴N點(diǎn)與頂點(diǎn)D重合

∵

∴，

∴菱形CNFM的周長為；

②若CF為菱形的一邊，則，，NM=NF時，四邊形CNFM為菱形

過F作FH⊥NM于H，設(shè)直線NM交x軸于G，

則,

∴NM===NF

∵，

∴

∴NF=FH

又FH=OG=

∴=

∴ 或

∴NF=或NF=菱形周長為或

因此，存在菱形，其周長為，或.