Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于
F，點O既是AC的中點，又是EF的中點．

(1)求證：△BOE≌△DOF；
(2)若OA＝BD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析（2）矩形，理由見解析

解：（1）證明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°。
∵點O是EF的中點，∴OE=OF。
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）。
（2）四邊形ABCD是矩形。理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD。
又∵OA=OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形。
∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC。∴平行四邊形ABCD是矩形。
（1）根據垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由點O是EF的中點可得OE=OF，再加上對頂角
∠DOF=∠BOE，可利用ASA證明△BOE≌△DOF。
（2）根據△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上條件AO=CO可得四邊形ABCD是平行四邊形，再證明DB=AC，可根據對角線相等的平行四邊形是矩形證出結論。