Question

【題目】已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，對(duì)角線OB和AC交于點(diǎn)D，OC=2，CB=2，OA=4，點(diǎn)P為對(duì)角線CA上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作QH⊥OA于H，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接BP，如果△BPQ和△PHA相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.

Answer 1

【答案】P()

【解析】

先根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，當(dāng)△BQP∽△AHP時(shí)和△BQP∽△PHA時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

∵OC=2，OA=4，

∴C（0，2），A（4，0）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得，

解得，

故直線AC的解析式為：y=﹣x+2．

∵QH⊥OA于H，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

∴QH在點(diǎn)B的右側(cè)，

如圖：①當(dāng)△BQP∽△AHP時(shí)，

則=，

∴BQPH=AHPQ．

∵點(diǎn)P在直線AC上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x+2）（0＜x＜4），

∴CQ=x，OH=x，PH=﹣x+2，

∵CB=2，OA=4，OH=2，

∴BQ=x﹣2，AH=4﹣x，PQ=x．

∴（x﹣2）（﹣x+2）=（4﹣x）（x），

解得x=4（舍去）．

②當(dāng)△BQP∽△PHA時(shí)，

則，即BQAH=PHPQ，

（x﹣2）（4﹣x）=（﹣x+2）（x），

解得x1=，x2=4（舍去）

則y=，

則P（，）．

∴P（，）．

故答案為：P（，）．