【題目】在正方形 ABCD 中,M 是 BC 邊上一點(diǎn),且點(diǎn) M 不與 B、C 重合,點(diǎn) P 在射線 AM 上,將線段 AP 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段 AQ,連接BP,DQ.
(1)依題意補(bǔ)全圖 1;
(2)①連接 DP,若點(diǎn) P,Q,D 恰好在同一條直線上,求證:DP2+DQ2=2AB2;
②若點(diǎn) P,Q,C 恰好在同一條直線上,則 BP 與 AB 的數(shù)量關(guān)系為: .
【答案】(1)詳見解析;(2)①詳見解析;②BP=AB.
【解析】
(1)根據(jù)要求畫出圖形即可;
(2)①連接BD,如圖2,只要證明△ADQ≌△ABP,∠DPB=90°即可解決問題;
②結(jié)論:BP=AB,如圖3中,連接AC,延長(zhǎng)CD到N,使得DN=CD,連接AN,QN.由△ADQ≌△ABP,△ANQ≌△ACP,推出DQ=PB,∠AQN=∠APC=45°,由∠AQP=45°,推出∠NQC=90°,由CD=DN,可得DQ=CD=DN=AB;
(1)解:補(bǔ)全圖形如圖 1:
(2)①證明:連接 BD,如圖 2,
∵線段 AP 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段 AQ,
∴AQ=AP,∠QAP=90°,
∵四邊形 ABCD 是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=90°,
∴∠1=∠2.
∴△ADQ≌△ABP,
∴DQ=BP,∠Q=∠3,
∵在 Rt△QAP 中,∠Q+∠QPA=90°,
∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°,
∵在 Rt△BPD 中,DP2+BP2=BD2, 又∵DQ=BP,BD2=2AB2,
∴DP2+DQ2=2AB2.
②解:結(jié)論:BP=AB.
理由:如圖 3 中,連接 AC,延長(zhǎng) CD 到 N,使得 DN=CD,連接 AN,QN.
∵△ADQ≌△ABP,△ANQ≌△ACP,
∴DQ=PB,∠AQN=∠APC=45°,
∵∠AQP=45°,
∴∠NQC=90°,
∵CD=DN,
∴DQ=CD=DN=AB,
∴PB=AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解下列方程:
(1)2x(x+1)=2x+2
(2)x2﹣4x﹣4=0
(3)x2﹣x﹣7=0
(4)(x﹣1)2﹣5(x﹣1)﹣6=0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,D為⊙O上的一點(diǎn),CD=CB,延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若OF⊥BD于點(diǎn)F,且OF=2,BD=4,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處,折痕為EF(點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上)
(1)若△CEF與△ABC相似.
①當(dāng)AC=BC=2時(shí),AD的長(zhǎng)為 ;
②當(dāng)AC=3,BC=4時(shí),AD的長(zhǎng)為 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí),△CEF與△ABC相似嗎?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),a≠0),若b2=ac,則稱該拋物線為黃金拋物線.例如:y=x2﹣x+1是黃金拋物線
(1)請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式;
(2)將黃金拋物線y=x2﹣x+1沿對(duì)稱軸向下平移3個(gè)單位
①直接寫出平移后的新拋物線的解析式;
②新拋物線如圖所示,與x軸交于A、B(A在B的左側(cè)),與y軸交于C,點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
③當(dāng)直線BC下方的拋物線上動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形 OBPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形OBPC的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),菱形ABCD的頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4),反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C,則k的值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中, ,,,點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn),以點(diǎn)為頂點(diǎn)作,射線、分別交邊、于點(diǎn)、.
特例
(1)如圖1,若,不添加輔助線,圖1中所有與相似的三角形為 , ;
操作探究:
(2)將(1)中的從圖1的位置開始繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到,如圖2,當(dāng)射線,分別交邊、于點(diǎn)、時(shí),求的值;
拓展延伸:
(3)如圖3,中,,,,點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn),以點(diǎn)為頂點(diǎn)作,射線、分別交邊、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、,則的值為 .(用含、的代數(shù)式表示,直接回答即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1,與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),把它向下平移2個(gè)單位后,得到新的拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,以下四個(gè)結(jié)論:①b2-4ac<0;②abc<0;③4a+2b+c=1;④a-b+c>0,其中正確的是
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④
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【題目】在菱形ABCD中,∠BAD=α,E為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)(不與A,C重合)將射線EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角之后,所得射線與直線AD交于F點(diǎn).試探究線段EB與EF的數(shù)量關(guān)系.
(1)如圖1,當(dāng)α=β=90°時(shí),EB與EF的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖2,當(dāng)α=60°,β=120°時(shí),
①依題意補(bǔ)全圖形;
②探究(1)的結(jié)論是否成立,若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)舉出反例證明.
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