【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),點(diǎn)的坐標(biāo)為,與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).

求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

連接、,并把沿翻折,得到四邊形,那么是否存在點(diǎn),使四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形的面積最大?求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積.

【答案】(1);(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形的面積的最大值為

【解析】

(1)將B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求得待定系數(shù)的值;

(2)由于菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分,若四邊形POP′C為菱形,那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線(xiàn)上,據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線(xiàn)的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)由于ABC的面積為定值,當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),BPC的面積最大;過(guò)Py軸的平行線(xiàn),交直線(xiàn)BCQ,交x軸于F,易求得直線(xiàn)BC的解析式,可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后根據(jù)拋物線(xiàn)和直線(xiàn)BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo),即可得到PQ的長(zhǎng),以PQ為底,B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求得BPC的面積,由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).

解:兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

解得:

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為:;

存在點(diǎn),使四邊形為菱形;

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,

若四邊形是菱形,則有;

連接,則

,

,

又∵

;

解得(不合題意,舍去),

點(diǎn)的坐標(biāo)為

過(guò)點(diǎn)軸的平行線(xiàn)與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),設(shè),

設(shè)直線(xiàn)的解析式為:,

解得:

∴直線(xiàn)的解析式為,

點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)

解得:,

,,

當(dāng)時(shí),四邊形的面積最大

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形的面積的最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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根據(jù)所給信息,解答以下問(wèn)題:

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(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)所抽取學(xué)生的足球運(yùn)球測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)會(huì)落在   等級(jí);

(4)該校九年級(jí)有300名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)足球運(yùn)球測(cè)試成績(jī)達(dá)到A級(jí)的學(xué)生有多少人?

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2 1x21=;

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4)(y+)(y-=20

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請(qǐng)你根據(jù)提供的信息解答下列問(wèn)題:

1)此次競(jìng)賽中二班80分以上(包括80分)的人數(shù)為   ;

2)請(qǐng)你將表格補(bǔ)充完整:

平均數(shù)(分)

中位數(shù)(分)

眾數(shù)(分)

一班

77.6

80

   

二班

77.6

   

90

3)請(qǐng)從不同角度對(duì)這次競(jìng)賽成績(jī)的結(jié)果進(jìn)行分析.(至少兩個(gè)角度)

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具體要求:①用直尺或圓規(guī)畫(huà)出測(cè)量的示意圖,并說(shuō)明應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理;②需要測(cè)量那些有關(guān)的數(shù)據(jù);③待測(cè)量的數(shù)據(jù)可以用ab、c、d等字母表示,最后表達(dá)出AB的長(zhǎng).

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2)求出這條拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式;

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