【題目】如圖,拋物線 的圖象過點(diǎn)C(0,1),頂點(diǎn)為Q(2,3),點(diǎn)D在x軸正半軸上,線段OD=OC.

(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得△CDM是以CD為直角邊的直角三角形?若存在,請求出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E,連接QE.若點(diǎn)P是線段QE上的動點(diǎn),點(diǎn)F是線段OD上的動點(diǎn),問:在P點(diǎn)和F點(diǎn)的移動過程中,△PCF的周長是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)拋物線的解析式為 ,
將C(0,1)代入得: ,
解得: ,
∴拋物線的解析式為:
(2)解: ①如圖1,當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí),

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),
∴OD=OC=1,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0),
設(shè)直線CD為 ,則: ,解答 ,
∴直線CD的解析式為:
∵此時(shí)CM⊥CD,
∴CM的解析式為:
由: ,解得: , ,
∵點(diǎn)(0,1)與點(diǎn)C重合,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3),此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合;
②如圖②,當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí),由①可得直線DM的解析式為 ,

由: ,解得: ,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為為 ;
綜上所述,符合題意的M有三點(diǎn),分別是(2 , 3 ), .
(3)解:存在.如圖③所示,作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對稱點(diǎn)C′,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C″,連接C′C″,交OD于點(diǎn)F,交QE于點(diǎn)P,則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形,由軸對稱的性質(zhì)可知,△PCF的周長等于線段C′C″的長度.

如答圖④所示,連接C′E,

由(2)可知,QC⊥CD, 由題意可得:QC=QE,
∵∠DCE=45°,
∴∠QCE=45°=∠QEC,
∴△QCE是等腰直角三角形,
∵C,C′關(guān)于直線QE對稱,
∴△QC′E為等腰直角三角形,
∴△CEC′為等腰直角三角形,
∵在拋物線 中,由 解得 ,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,1),
∴CE=4=C′E,
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4,5);
∵C,C″關(guān)于x軸對稱,
∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為(0,﹣1).
∴OC″=1,
過點(diǎn)C′作C′N⊥y軸于點(diǎn)N,則NC′=CE=4,NC″=4+1+1=6,
在Rt△C′NC″中,由勾股定理得:C′C″=
綜上所述,在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中,△PCF的周長存在最小值,最小值為
【解析】(1)解析式可設(shè)為頂點(diǎn)式,再把C(0,1)代入解析式即可;(2)以CD為直角邊的直角三角形分為兩類,分別以C、D為直角頂點(diǎn),可過C、D分別作CD的垂線,與拋物線相交,聯(lián)立直線和拋物線解析式組成方程組,可求出M坐標(biāo);(3)可利用對稱法作出C關(guān)于定直線QE的對稱點(diǎn)C',關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為C",把△PCF的周長轉(zhuǎn)化為FC"+FP+PC',當(dāng)C"、F、P、C'四點(diǎn)共線時(shí),周長最小.

練習(xí)冊系列答案
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1 2 3

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