Question

【題目】如圖①，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB= ，反比例函數(shù)y= （k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F．

（1）若OA=10，求反比例函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積S=12，求OA的長(zhǎng)和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）中的條件下，過(guò)點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)E（如圖②），點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB= ，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），根據(jù)題意得：

8= ，可得：k=48，

∴反比例函數(shù)解析式：y= （x＞0）

（2）

解：設(shè)OA=a（a＞0），過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，

由平行四邊形性質(zhì)可證得OH=BN，

∵sin∠AOB= ，

∴AH= a，OH= a，

∴S△AOH= a a= a2，

∵S△AOF=12，

∴S平行四邊形AOBC=24，

∵F為BC的中點(diǎn)，

∴S△OBF=6，

∵BF= a，∠FBM=∠AOB，

∴FM= a，BM= a，

∴S△BMF= BMFM= a a= a2，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+ a2，

∵點(diǎn)A，F(xiàn)都在y= 的圖象上，

∴S△AOH=S△FOM= k，

∴ a2=6+ a2，

∴a= ，

∴OA= ，

∴AH= ，OH=2 ，

∵S平行四邊形AOBC=OBAH=24，

∴OB=AC=3 ，

∴ON=OB+OH=5 ，

∴C（5 ， ）

（3）

解：存在三種情況：

當(dāng)∠APO=90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，分別為：P1（ ， ），P2（﹣ ， ），

當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，P3（ ， ），

當(dāng)∠POA=90°時(shí)，P4（﹣ ， ）

【解析】（1）先過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB，根據(jù)sin∠AOB= ，OA=10，求出AH和OH的值，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再把它代入反比例函數(shù)中，求出k的值，即可求出反比例函數(shù)的解析式；（2）先設(shè)OA=a（a＞0），過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，根據(jù)sin∠AOB= ，得出AH= a，OH= a，求出S△AOH的值，根據(jù)S△AOF=12，求出平行四邊形AOBC的面積，根據(jù)F為BC的中點(diǎn)，求出S△OBF=6，
根據(jù)BF= a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF= BMFM，S△FOM=6+ a2 ， 再根據(jù)點(diǎn)A，F(xiàn)都在y= 的圖象上，S△AOH= k，求出a，最后根據(jù)S平行四邊形AOBC=OBAH，得出OB=AC=3 ，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）分別根據(jù)當(dāng)∠APO=90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，得出P1 ， P2；當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，求出P3；當(dāng)∠POA=90°時(shí)，求出P4即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的反比例函數(shù)的性質(zhì)，需要了解性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能得出正確答案．