Question

已知：在直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)．
 
（1）如圖1，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA=2，OB=4，試求C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）如圖2，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2

3

，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-m），點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為n，以B為頂點(diǎn)，BA為腰作等腰Rt△ABD．試問：當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條件都不變時(shí)，整式2m+2n-5

3

的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖3，E為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OB=OE，OF⊥EB于點(diǎn)F，以O(shè)B為邊作等邊△OBM，連接EM交OF于點(diǎn)N，試探索：在線段EF、EN和MN中，哪條線段等于EM與ON的差的一半？請(qǐng)你寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，可以證明△AQC≌△BOA，由QC=AO，AQ=BO，再由條件就可以求出C的坐標(biāo)．
（2）作DP⊥OB于點(diǎn)P，可以證明△AOB≌△BPD，則有AO=BP=OB-PO=m-（-n）=m+n為定值，從而可以得出結(jié)論2m+2n-5

3

的值不變?yōu)?

3

．
（3）作BH⊥EB于B，由條件可以得出∠1=30°，∠2=∠3=∠EMO=15°，∠EOF=∠BMG=45°，EO=BM，可以證明△ENO≌△BGM，則GM=ON，就有EM-ON=EM-GM=EG，最后由平行線分線段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半．

解答：解：（1）如圖（1）作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，
∴∠AQC=90°
∵△ABC等腰Rt△，
∴AC=AB，∠CAB=90°，
∴∠ACQ=∠BAO．
∴△AQC≌△BOA，
∴CQ=AO，AQ=BO．
∵OA=2，OB=4，
∴CQ=2，AQ=4，
∴OQ=6，
C（-6，-2）．
（2）如圖（2）作DP⊥OB于點(diǎn)P，
∴∠BPD=90°，
∵△ABD等腰Rt△，
∴AB=BD，∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°，
∴∠ABO=∠BDP，
∴△AOB≌△BPD，
∴AO=BP，
∵BP=OB-PO=m-（-n）=m+n，
∴A（-2

3

，0），
∴OA=2

3

，
∴m+n=2

3

，
∴當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)AO=BP=m+n=2

3

，
∴整式2m+2n-5

3

 的值不變?yōu)?

3

．


（3）EN=

1

2

（EM-ON）
證明：如圖（3）在ME上截取MG=ON，連接BG，
∵△OBM是等邊三角形，
∴BO=BM=MO，∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°，
∴EO=MO，∠EBM=105°，∠1=30°，
∵OE=OB，
∴OE=OM=BM．
∴∠3=∠EMO=15°，
∴∠BEM=30°，∠BME=45°，
∵OF⊥EB，
∴∠EOF=45°，
∴∠EOF=∠BME．
∴△ENO≌△BGM，
∴BG=EN．ON=MG，
∴∠2=∠3，
∴∠2=15°，
∴∠EBG=90°
∴BG=

1

2

EG，
∴EN=

1

2

EG，
∵EG=EM-GM，
∴EN=

1

2

（EM-GM），
∴EN=

1

2

（EM-ON）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線等分線段定理的運(yùn)用．