Question

已知：在直角坐標系中，A、B兩點是拋物線y=x²-（m-3）x-m與x軸的交點（A在B的右側），x₁、x₂分別是A、B兩點的橫坐標，且|x₁-x₂|=3．
（1）當m＞0時，求拋物線的解析式．
（2）如果（1）中所求的拋物線與y軸交于點C，問y軸上是否存在點D（不含與C重合的點），使得以D、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出D點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過拋物線的頂點，且當k＞0時，圖象與兩坐標軸所圍成的面積是

1

5

，求一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9，x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m，代入求出即可；
（2）求出A、C的坐標，求出OA、OC，根據(jù)相似三角形的性質得出

OA

OA

=

OD

OC

或

AO

OC

=

OD

OA

，代入求出即可；
（3）求出直線與X、Y軸的交點坐標，根據(jù)三角形的面積公式得到|

1

2

b•（-

b

k

）|=

1

5

，求出頂點坐標代入解析式得到方程，兩方程組成方程組，求出方程組的解即可．

解答：解：（1）x²-（m-3）x-m=0，
x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m，
∵|x₁-x₂|=3，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9，
∴（m-3）²+4m=9，
∵m＞0，
∴m=2，
∴y=x²+x-2=0．
答：當m＞0時，拋物線的解析式是y=x²+x-2．

（2）x²+x-2=0，
x₁=-2，x₂=1，
∴A（1，0），
即OA=1，
把x=0代入得：y=-2，
∴OC=2，
∵以D、O、A為頂點的三角形與△AOC相似，
∠AOC=∠AOD，
∴

OA

OA

=

OD

OC

或

AO

OC

=

OD

OA

，
代入求出OD=OC=2，或OD=

1

2

，
∴D的坐標是（0，2）或（0，

1

2

）．
答：存在點D（不含與C重合的點），使得以D、O、A為頂點的三角形與△AOC相似，D點的坐標是（0，2）或（0，

1

2

）．

（3）當x=0時，y=b，
當y=0時，x=-

b

k

，
∴|

1

2

b•（-

b

k

）|=

1

5

，①
y=x²+x-2=(x+

1

2

)2-

9

4

，
∴頂點坐標是（-

1

2

，-

9

4

），
代入y=kx+b得：-

9

4

=-

1

2

k+b ②，
由①②組成方程組，解方程組得：

k=7.9 b=3.7

，

k=2.7 b=1.1

，
∴y=7.9x+3.7，y=2.7x+1.1．
答：一次函數(shù)的解析式是y=7.9x+3.7或y=2.7x+1.1．

點評：本題主要考查對相似三角形的性質和判定，解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根與系數(shù)的關系等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．