Question

【題目】如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD，△BC均為等邊三角形，連接AE、CD，PN、BF下列結(jié)論：①△ABE≌△DBC；②∠DFA＝60°；③△BPN為等邊三角形；④若∠1＝∠2，則FB平分∠AFC．其中結(jié)論正確的有（　�。�

A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)

Answer 1

【答案】A

【解析】

由等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，得出∠ABE＝∠DBC，由SAS即可證出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE＝∠BDC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DFA＝60°；由ASA證明△ABP≌△DBN，得出對(duì)應(yīng)邊相等BP＝BN，即可得出△BPN為等邊三角形；證明P、B、N、F四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BFP＝∠BFN，即FB平分∠AFC．

∵△ABD、△BCE為等邊三角形，

∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，

∴∠ABE＝∠DBC，∠PBN＝60°，

在△ABE和△DBC中，

，

∴△ABE≌△DBC（SAS），

∴①正確；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAE＝∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠DFA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，

∴②正確；

在△ABP和△DBN中，

，

∴△ABP≌△DBN（ASA），

∴BP＝BN，

∴△BPN為等邊三角形，

∴③正確；

∵∠DFA＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠AFC+∠PBN＝180°，

∴P、B、N、F四點(diǎn)共圓，

∵BP＝BN，

∴弧BP=弧BN，

∴∠BFP＝∠BFN，

即FB平分∠AFC；

∴④正確；

故選：A．