【題目】如圖,拋物線 y=﹣x2+bx+c x 軸交于 A、B 兩點,與 y 軸交于點 C ,點 A 的坐標為(-1,0),點 C 的坐標為(0,3),點D和點 C 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,直線 AD y 軸交于點 E

1)求拋物線的解析式;

2)如圖,直線 AD 上方的拋物線上有一點 F,過點 F FGAD 于點 G,作 FH 平行于 x 軸交直線 AD 于點 H,求FGH 周長的最大值.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)△FGH周長最大值為:.

【解析】

1)利用待定系數(shù)法求解即可;

2)根據(jù)拋物線的解析式可得對稱軸的方程,即可求出點D的坐標,利用待定系數(shù)法可得直線AD的解析式,即可求出點E的坐標,得△OAE是等腰直角三角形,由FH 平行于 x 軸可得△FGH為等腰直角三角形過點 F FMx 軸交 AD M,可得△FMH是等腰直角三角形,即可得出△FGH的周長等于△FGM的周長,配方可求出FM的最大值,即可得出△FGM周長的最大值,進而可得答案.

1)將 (-1,0), (0,3)代入y=﹣x2+bx+c ,得:

1b+c=0,c=3,解得:b=2,c=3,

即拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3.

2)∵y=﹣x2+2x+3

=﹣(x12+4,

∴拋物線對稱軸為直線 x1,點 D 和點 C 關(guān)于直線x1對稱,

D2,3),

設(shè)直線 AD 的解析式為 ykx+b,

A(﹣1,0),D2,3)代入得:

,解得,

∴直線AD的解析式為:yx+1;

E0,1),

OAOE,

∴△OAE 為等腰直角三角形,

∴∠EAO45°,

FHOA,△FGH 為等腰直角三角形,

過點 F FMx 軸交 AD M,如圖,

可得FM=FH,

FGGHFH=FM,

CFGH=(1+FM,

設(shè)F(m,﹣m2+2m+3),則M(mm+1),FM=m2+m+2

CFGH=(1+FM

=1+)(﹣m2+m+2

=﹣(1+

∴當 x時,△FGH周長由最大值,最大值為:.

練習冊系列答案
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1)求拋物線的解析式;

2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點,設(shè)點P的橫坐標為m,過點PPDBC,垂足為D,用含m的代數(shù)式表示線段PD的長,并求出線段PD的最大值.

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1)求拋物線解析式;

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作直線BD,交線段AC于點E,交y軸于點F,連接AD;求△ADE與△CEF面積差的最大值,及此時點D的坐標;

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