【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點、、.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若與拋物線的對稱軸交于點,以為圓心,長為半徑作圓,與軸的位置關(guān)系如何?請說明理由.
(3)過點作的切線,交軸于點,請求出直線的解析式及點坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+4;(2)⊙A與y軸的位置關(guān)系是相交,理由見解析;(3)直線GE的表達式為:y=﹣x+,G(,0).
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法,即可求解;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法,求出直線AC的表達式為:y=x+4,進而求出點E的坐標(biāo),可得AE的長,比較AE與AO的大小關(guān)系,即可得到結(jié)論;
(3)由直線AC的表達式為:y=x+4,結(jié)合AC⊥EG,可得直線EG的表達式為:y=﹣x+m,結(jié)合點E的坐標(biāo),可得直線GE的表達式,進而即可求解.
(1)∵拋物線經(jīng)過點、,
∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為:y=a(x+3)(x﹣2)=a(x2+x﹣6),
把C(0,4)代入得:﹣6a=4,解得:a=﹣,
∴拋物線的表達式為:y=﹣x2﹣x+4;
(2)⊙A與y軸的位置關(guān)系是相交,理由如下:
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
將點A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式:y=kx+b得:,解得:,
∴直線AC的表達式為:y=x+4,
∵拋物線的對稱軸為:直線x=﹣,
∴當(dāng)x=﹣時,y=
∴點E(﹣,),
∴AE==>AO,
∴⊙A與y軸的位置關(guān)系是相交;
(3)直線AC的表達式為:y=x+4,
∵是的切線,切點是點E,
∴AC⊥EG,
∴設(shè)直線EG的表達式為:y=﹣x+m,
將點E的坐標(biāo)代入上式,得=﹣×(﹣)+m,解得:m=,
∴直線GE的表達式為:y=﹣x+,
∵當(dāng)y=0時,x=,
∴點G(,0).
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【題目】小林在沒有量角器和圓規(guī)的情況下,利用刻度尺和一副三角板畫出了一個角的平分線,他的做法是這樣的:如圖,
①利用刻度尺在∠AOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON;
②利用兩個三角板,分別過點M,N畫OM,ON的垂線,交點為P;
③畫射線OP.則射線OP為∠AOB的平分線.
(1)請寫出射線OP為∠AOB的平分線的證明過程.
(2)請根據(jù)你的證明過程,寫出小林的畫法的依據(jù)______.
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【題目】如圖,已知以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,拋物線經(jīng)過A,B,C三點,頂點為F.
(1)求A,B,C三點的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標(biāo);
(3)已知M為拋物線上一動點(不與C點重合),試探究:
①使得以A,B,M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點M的坐標(biāo);
②若探究①中的M點位于第四象限,連接M點與拋物線頂點F,試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由.
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【題目】為了豐富校園文化,某學(xué)校決定舉行學(xué)生趣味運動會,將比賽項目確定為袋鼠跳、夾球跑、跳大繩、綁腿跑和拔河賽五種.為了解學(xué)生對這五項運動的喜歡情況,隨機調(diào)查了該校a名學(xué)生最喜歡的一種項目(每名學(xué)生必選且只能選擇五項中的一種)并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表:
學(xué)生最喜歡的活動項目的人數(shù)統(tǒng)計表 | ||
項目 | 學(xué)生數(shù)(名) | 百分比(%) |
袋鼠跳 | 45 | 15 |
夾球跑 | 30 | c |
跳大繩 | 75 | 25 |
綁腿跑 | b | m |
拔河賽 | 90 | 30 |
根據(jù)圖表中提供的信息,解答下列問題:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請你估計該校3000名學(xué)生中有多少名學(xué)生最喜歡綁腿跑.
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【題目】已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表:
-1 | 0 | 2 | 3 | 4 | |
5 | 0 | -4 | -3 | 0 |
下列結(jié)論:①拋物線開口向上;②拋物線的對稱軸為直線;③當(dāng)時,;④拋物線與軸的兩個交點間的距離是4;⑤若,是拋物線上兩點,則,其中正確的結(jié)論是_______.
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【題目】如圖1 ,在中,是邊上一點(不與點重合),將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接.
(發(fā)現(xiàn)問題)
(1)如圖1 ,通過圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知_______, 度;
(解決問題)
(2)如圖1,證明;
(拓展延伸)
如圖2,在中,為外一點,且,仍將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接.
(3)若求的長.
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【題目】在⊙O中,AB為直徑,點P在AB的延長線上,PC與⊙O相切于點C,點D為弧AC上的點,且2∠DAB﹣∠P=90°,連接AD.
(1)如圖1,求證:弧AD=弧BC;
(2)如圖2,PC=6,PB=,求∠ADC度數(shù);
(3)如圖3,在(2)的條件下,F為AB下方⊙O上一點.∠ACF=60°,L為OF中點,LK⊥AL于L,交CF于點K.連接AK,求AK的長.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,O是對角線AC與BD的交點,M是BC邊上的動點(點M不與點B,C重合),過點C作CN⊥DM交AB于點N,連結(jié)OM、ON,MN.下列五個結(jié)論:①△CNB≌△DMC;②ON=OM;③ON⊥OM;④若AB=2,則S△OMN的最小值是1;⑤AN2+CM2=MN2.其中正確結(jié)論是_____;(只填序號)
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【題目】如圖,小明為了測量小河對岸大樹BC的高度,他在點A測得大樹頂端B的仰角是45°,沿斜坡走米到達斜坡上點D,在此處測得樹頂端點B的仰角為31°,且斜坡AF的坡比為1:2(參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60).
(1)求小明從點A走到點D的過程中,他上升的高度;
(2)大樹BC的高度約為多少米?
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