【題目】已知直線l1:y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,且與雙曲線y= 交于點C(1,a).

(1)試確定雙曲線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)將l1沿y軸翻折后,得到l2 , 畫出l2的圖象,并求出l2的函數(shù)表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,點P是線段AC上點(不包括端點),過點P作x軸的平行線,分別交l2于點M,交雙曲線于點N,求SAMN的取值范圍.

【答案】
(1)

解:令x=1代入y=x+3,

∴y=1+3=4,

∴C(1,4),

把C(1,4)代入y= 中,

∴k=4,

∴雙曲線的解析式為:y=


(2)

解:如圖所示,

設(shè)直線l2與x軸交于點D,

由題意知:A與D關(guān)于y軸對稱,

∴D的坐標(biāo)為(3,0),

設(shè)直線l2的解析式為:y=ax+b,

把D與B的坐標(biāo)代入上式,

得: ,

∴解得: ,

∴直線l2的解析式為:y=﹣x+3


(3)

解:設(shè)M(3﹣t,t),

∵點P在線段AC上移動(不包括端點),

∴0<t<4,

∴PN∥x軸,

∴N的縱坐標(biāo)為t,

把y=t代入y=

∴x= ,

∴N的坐標(biāo)為( ,t),

∴MN= ﹣(3﹣t)= +t﹣3,

過點A作AE⊥PN于點E,

∴AE=t,

∴SAMN= AEMN,

= t( +t﹣3)

= t2 t+2

= (t﹣ 2+

由二次函數(shù)性質(zhì)可知,當(dāng)0≤t≤ 時,SAMN隨t的增大而減小,當(dāng) <t≤4時,SAMN隨t的增大而增大,

∴當(dāng)t= 時,SAMN可取得最小值為 ,

當(dāng)t=4時,SAMN可取得最大值為4,

∵0<t<4

≤SAMN<4


【解析】本題考查函數(shù)的綜合問題,涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式,三角形面積等知識,由于有動點,所以難度較高,需要學(xué)生利用參數(shù)去表示相關(guān)坐標(biāo),然后求出函數(shù)關(guān)系式.(1)令x=1代入一次函數(shù)y=x+3后求出C的坐標(biāo),然后把C代入反比例函數(shù)解析式中即可求出k的值;(2)設(shè)直線l2與x軸交于D,由題意知,A與D關(guān)于y軸對稱,所以可以求出D的坐標(biāo),再把B點坐標(biāo)代入y=ax+b即可求出直線l2的解析式;(3)設(shè)M的縱坐標(biāo)為t,由題意可得M的坐標(biāo)為(3﹣t,t),N的坐標(biāo)為( ,t),進(jìn)而得MN= +t﹣3,又可知在△ABM中,MN邊上的高為t,所以可以求出SAMN與t的關(guān)系式.
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和三角形的面積,掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法;三角形的面積=1/2×底×高即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)該校參加機器人、建模比賽的人數(shù)分別是人和人;
(2)該校參加科技比賽的總?cè)藬?shù)是人,電子百拼所在扇形的圓心角的度數(shù)是°,并把條形統(tǒng)計圖補充完整.
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A.b≥
B.b≥1或b≤﹣1
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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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A.(2,﹣3)
B.(2,3)
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D.(3,﹣2)

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A.﹣3
B.﹣2
C.﹣
D.

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