【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為P.

(1)如圖1,連接AP,分別求出拋物線與直線AP的解析式;

(2)如圖1,點D(2,3)在拋物線上,在第一象限內(nèi),直線AP上是否存在點E,使DEEO?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

(3)如圖2,連接BC與拋物線的對稱軸交于點F,在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點G,使GPFGBF的面積相等?若存在,求出點G的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,直線AP的解析式為y=2x+2;(2)E(,+2)或(﹣,﹣+2);(3)點Q的坐標為(2,3),(,﹣).

【解析】(1)A(-1,0)、兩點代入y=-x+bx+c即可求出拋物線的解析式,求出點P的坐標,將點A、P兩點坐標代入即可求出直線解析式;
(2)設(shè)過點PBC平行的直線與拋物線的交點為Q,根據(jù)直線BC的解析式為y=-x+3,過點PBC平行的直線為y=-x+5,Q的坐標為(2,3),根據(jù)PM的解析式為:,直線BC的解析式為y=-x+3,M的坐標為(1,2),設(shè)PMx軸交于點E,求出過點EBC平行的直線為y=-x+1,根據(jù),
得點Q的坐標為.

1)由,

則拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,

y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

P(1,4),

設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b,點A、P兩點坐標代入得

解得:

則直線AP的解析式為y=2x+2;

(2)如圖1,假設(shè)AP上有一點E,使得DEEO,作EMOB,DNEM,

EMO∽△DNE,

,

設(shè)E(x,y),D(2,3),

OM=x,EM=y,EN=y﹣3,DN=2﹣x,

又∵y=2x+2,

解得:x=,

y=+2,

E(+2)或(﹣,﹣+2);

(3)設(shè)過點PBC平行的直線與拋物線的交點為Q,

P點的坐標為(1,4),直線BC的解析式為y=﹣x+3,

∴過點PBC平行的直線為y=﹣x+5

Q的坐標為(2,3),

PF的解析式為x=1,直線BC的解析式為y=﹣x+3,

F的坐標為(1,2),

設(shè)PMx軸交于點E,

PF=EF=2,

∴過點EBC平行的直線為y=﹣x+1,

(不合題意,舍去),

∴點Q的坐標為(,﹣),

∴使得QMBPMB的面積相等的點Q的坐標為(2,3),(,﹣).

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