Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，OA=8，OC=4．點(diǎn)P為對(duì)角線AC 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PB，PQ交x軸于點(diǎn)Q．

（1）tan∠ACB=________；

（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中,的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)求出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值；

（3）若將△QAB沿直線BQ折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，則PC的長(zhǎng)為________

Answer 1

【答案】(1);(2) 的值不變，等于，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)tan∠ACB＝即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥OA于點(diǎn)D、PE⊥AB于點(diǎn)E，然后證明△PDQ∽△PEB，再求出

（3）連接BQ、交CA于點(diǎn)H，由折疊可知BQ垂直平分AP，易證得△BAH∽△CAB， 又有AB=4、BC=8，進(jìn)而可得AH、AC的長(zhǎng)，據(jù)此解答即可.

（1）根據(jù)tan∠ACB＝

（2）解：在點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中，的值不變，等于，

如圖1，過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥OA于點(diǎn)D、PE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)

∵∠PDA＝∠PEA＝∠BAO＝90°，

∴四邊形PDAE是矩形，

∴PD＝AE，PE＝AD，∠EPF＝90°，

又∵PQ⊥PB，

∴∠BPQ＝90°，

∴∠DPQ＝∠EPB，

∴△PDQ∽△PEB，

∴.

又∵,

∴ 在點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中，的值不變，等于.

（3）

連接BQ，BQ與AC交于H點(diǎn)，

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理求得AC＝

∵△QAB沿直線BQ折疊后，A與P重合，

∴BQ是四邊形AQPB的對(duì)稱(chēng)軸，

∴BQ垂直平分AP.

∵BH⊥AC，

∴∠BHA＝∠ABC＝90°，

又∠BAC是公共角，

∴△BAH∽△CAB，

∴AB2＝AH·AC，

∴42＝ AH·

∴AH＝，

∴AP＝2AH＝，

∴PC＝AC－AP＝.