【題目】如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)F是AB上一點(diǎn),作等腰Rt△FCP,且∠PCF=90°,連結(jié)AP.
(1)求證:△CFB≌△CPA;
(2)求證:AP2+AF2=PF2;
(3)如圖2,在AF上取點(diǎn)E,使∠ECF=45°,求證:AE2+BF2=EF2.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)由△ABC和△PCF都是等腰直角三角形,易得AC=BC,PC=FC,∠ACP=∠BCF可得結(jié)論;
(2) 由(1)可得∠PAC=∠B=45°,可得∠PAF=∠PAC+∠BAC=45°+45°=90°,AP2+AF2=PF2;
(3)連結(jié)PE,可證得△PCE≌△FCE(SAS),可得EF=EP,∠PCE=∠ECF=45°,由(2)知可得∠PAF=90°,PA=BF,AP2+AE2=PE2,AE2+BF2=EF2.
解:
(1)證明:∵△ABC和△PCF都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,PC=FC,∠ACB=PCF=90°,
∴∠ACB-∠ACF=∠PCF-∠ACF,
∴∠ACP=∠BCF,
在△CFB與△CPA中
∴△CFB≌△CPA(SAS)
(2)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45°,
由(1)△CFB≌△CPA,∴∠PAC=∠B=45°,
∴∠PAF=∠PAC+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AP2+AF2=PF2
(3)證明:連結(jié)PE,
∵∠ACE+∠BCF=∠ACB-∠ECF=90°-45°=45°,
∵∠BCF=∠ACP,
∴∠PCE=∠PCA+∠ACE=45°,
在△PCE與△FCE中
∴△PCE≌△FCE(SAS),
∴EF=EP,∠PCE=∠ECF=45°
由(2)知∴∠PAF=90°,PA=BF,
∴AP2+AE2=PE2;
∴AE2+BF2=EF2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P.
(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度數(shù);
(2)如圖②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q,試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系.
(3)如圖③,延長線段BP、QC交于點(diǎn)E,△BQE中,存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍,求∠A的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD是平行四邊形(如圖),把△ABD沿對(duì)角線BD翻折180°得到△AˊBD.
(1)利用尺規(guī)作出△AˊBD.(要求保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)設(shè)D Aˊ 與BC交于點(diǎn)E,求證:△BAˊE≌△DCE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,射線AM⊥AB,點(diǎn)P在AM上,連接OP交半圓O于點(diǎn)D,PC切半圓O于點(diǎn)C,連接BC,OC.
(1)求證:△OAP≌△OCP;
(2)若半圓O的半徑等于2,填空: ①當(dāng)AP=時(shí),四邊形OAPC是正方形;
②當(dāng)AP=時(shí),四邊形BODC是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在5×5的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長都是1,在所給網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形:
(1)(I)已知點(diǎn)A在格點(diǎn)(即小正方形的頂點(diǎn))上,畫一條線段AB,長度為,且點(diǎn)B在格點(diǎn)上; (II)以上題中所畫線段AB為一邊,另外兩條邊長分別是3,2,畫一個(gè)三角形ABC,使點(diǎn)C在格點(diǎn)上(只需畫出符合條件的一個(gè)三角形);
(2)所畫的三角形ABC的AB邊上高線長.(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D,則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是
①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
A.1 B.2 C.3 D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中:①ac>0;②a+b+c<0;③4a﹣2b+c<0;④2a+b<0;⑤4ac﹣b2<4a;⑥a+b>0中,其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】尺規(guī)作圖是理論上接近完美的作圖方式,樂樂很喜歡用尺規(guī)畫出要求的圖形.在下面的中,請(qǐng)你也按要求用尺規(guī)作出下列圖形(不寫作法,但要保留作圖痕跡)并填空.
(1)作出的平分線交邊于點(diǎn);
(2)作出邊上的垂直平分線交于點(diǎn) ;
(3)連接,若,則的度數(shù)為 .
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