【題目】綜合與探究:
如圖,拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交與A,B兩點(點B在點A的右側(cè)),與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.
(1)求點A,B,C的坐標(biāo).
(2)當(dāng)點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD,BC于點M,N.試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.
(3)當(dāng)點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使△BDQ為直角三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
考點:二次函數(shù)綜合題.
【答案】
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點的特點,可求點A,B,C的坐標(biāo).
(2)由菱形的對稱性可知,點D的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程,求得m的值;再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀;
(3)分DQ⊥BD,BQ⊥BD兩種情況討論可求點Q的坐標(biāo).
解:(1)當(dāng)y=0時,x2﹣x﹣4=0,解得x1=﹣2,x2=8,
∵點B在點A的右側(cè),
∴點A的坐標(biāo)為(﹣2,0),點B的坐標(biāo)為(8,0).
當(dāng)x=0時,y=﹣4,
∴點C的坐標(biāo)為(0,﹣4).
(2)由菱形的對稱性可知,點D的坐標(biāo)為(0,4).
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則
,
解得k=﹣,b=4.
∴直線BD的解析式為y=﹣x+4.
∵l⊥x軸,
∴點M的坐標(biāo)為(m,﹣m+4),點Q的坐標(biāo)為(m,m2﹣m﹣4).
如圖,當(dāng)MQ=DC時,四邊形CQMD是平行四邊形,
∴(﹣m+4)﹣(m2﹣m﹣4)=4﹣(﹣4).
化簡得:m2﹣4m=0,
解得m1=0(不合題意舍去),m2=4.
∴當(dāng)m=4時,四邊形CQMD是平行四邊形.
此時,四邊形CQBM是平行四邊形.
解法一:∵m=4,
∴點P是OB的中點.
∵l⊥x軸,
∴l∥y軸,
∴△BPM∽△BOD,
∴==,
∴BM=DM,
∵四邊形CQMD是平行四邊形,
∴DMCQ,
∴BMCQ,
∴四邊形CQBM是平行四邊形.
解法二:設(shè)直線BC的解析式為y=k1x+b1,則
,
解得k1=,b1=﹣4.
故直線BC的解析式為y=x﹣4.
又∵l⊥x軸交BC于點N,
∴x=4時,y=﹣2,
∴點N的坐標(biāo)為(4,﹣2),
由上面可知,點M的坐標(biāo)為(4,2),點Q的坐標(biāo)為(4,﹣6).
∴MN=2﹣(﹣2)=4,NQ=﹣2﹣(﹣6)=4,
∴MN=QN,
又∵四邊形CQMD是平行四邊形,
∴DB∥CQ,
∴∠3=∠4,
∵在△BMN與△CQN中,
,
∴△BMN≌△CQN(ASA)
∴BN=CN,
∴四邊形CQBM是平行四邊形.
(3)拋物線上存在兩個這樣的點Q,分別是Q1(﹣2,0),Q2(6,﹣4).
若△BDQ為直角三角形,可能有三種情形,如答圖2所示:
①以點Q為直角頂點.
此時以BD為直徑作圓,圓與拋物線的交點,即為所求之Q點.
∵P在線段EB上運動,
∴﹣8≤xQ≤8,而由圖形可見,在此范圍內(nèi),圓與拋物線并無交點,
故此種情形不存在.
②以點D為直角頂點.
連接AD,∵OA=2,OD=4,OB=8,AB=10,
由勾股定理得:AD=,BD=,
∵AD2+BD2=AB2,
∴△ABD為直角三角形,即點A為所求的點Q.
∴Q1(﹣2,0);
③以點B為直角頂點.
如圖,設(shè)Q2點坐標(biāo)為(x,y),過點Q2作Q2K⊥x軸于點K,則Q2K=﹣y,OK=x,BK=8﹣x.
易證△Q2KB∽△BOD,
∴,即,整理得:y=2x﹣16.
∵點Q在拋物線上,∴y=x2﹣x﹣4.
∴x2﹣x﹣4=2x﹣16,解得x=6或x=8,
當(dāng)x=8時,點Q2與點B重合,故舍去;
當(dāng)x=6時,y=﹣4,
∴Q2(6,﹣4).
綜上所述,符合題意的點Q的坐標(biāo)為(﹣2,0)或(6,﹣4).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A,將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角∠DAG=α,其中0°≤α≤180°,連結(jié)DF,BF,如圖.
(1)若α=0°,則DF=BF,請加以證明;
(2)試畫一個圖形(即反例),說明(1)中命題的逆命題是假命題;
(3)對于(1)中命題的逆命題,如果能補(bǔ)充一個條件后能使該逆命題為真命題,請直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件,不必說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩地相距400千米,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地,如圖,線段OA表示貨車離甲地的路程y(千米)與所用時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系,折線BCD表示轎車離甲地的路程y(千米)與x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)求線段CD對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求E點的坐標(biāo),并解釋E點的實際意義;
(3)若已知轎車比貨車晚出發(fā)20分鐘,且到達(dá)乙地后在原地等待貨車,在兩車相遇后當(dāng)貨車和轎車相距30千米時,求貨車所用時間.
考點:一次函數(shù)的應(yīng)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點M(2,3)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為( )
A. (- 2,- 3) B. (2,- 3) C. (- 2,3) D. (3,- 2)
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【題目】對于二次函數(shù)y=(x﹣1)2+2的圖象,下列說法正確的是( )
A.開口向下
B.對稱軸是x=﹣1
C.頂點坐標(biāo)是(1,2)
D.與x軸有兩個交點
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【題目】設(shè)p、q都是實數(shù),且p<q.我們規(guī)定:滿足不等式p≤x≤q的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為[p,q].對于一個函數(shù),如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足:當(dāng)p≤x≤q時,有p≤y≤q,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[p,q]上的“閉函數(shù)”.
(1)反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1,2015]上的“閉函數(shù)”嗎?請判斷并說明理由.
(2)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”,求此一次函數(shù)的解析式;
(3)若實數(shù)c,d滿足c<d,且d>2,當(dāng)二次函數(shù)y=x2﹣2x是閉區(qū)間[c,d]上的“閉函數(shù)”時,求c,d的值.
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