Question

【題目】(材料閱讀)數(shù)軸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合.通過數(shù)軸我們可發(fā)現(xiàn)許多重要的規(guī)律：

①對(duì)值的幾何意義：一般地，若點(diǎn)、點(diǎn)在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為，，那么、兩點(diǎn)之間的距離表示為，記作，則表示數(shù)和1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；又如，所以表示數(shù)和在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；

②若數(shù)軸上點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別為、，那么線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為.

(問題情境)如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，其中線段的中點(diǎn)記作點(diǎn).

(綜合運(yùn)用)

(1)出發(fā)秒后，點(diǎn)和點(diǎn)相遇，則表示的數(shù)___________；

(2)在第(1)問的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

(3)在第(1)問的基礎(chǔ)上，點(diǎn)、在相遇后繼續(xù)以原來的速度在這條數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，但、兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向相同.隨著點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)，線段的中點(diǎn)也相應(yīng)移動(dòng)，問線段的中點(diǎn)能否與表示的點(diǎn)重合？若能，求出從、相遇起經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）8秒或者16秒；

（3）能與表示的點(diǎn)重合， 秒.

【解析】

（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）由（1）可知點(diǎn)和點(diǎn)在點(diǎn)A與B上運(yùn)動(dòng)時(shí)相遇的時(shí)間是12秒，求出、兩點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，相遇的時(shí)間，則可以利用兩個(gè)相遇時(shí)間的差，得出沒相遇時(shí)，滿足的時(shí)間，或者利用兩個(gè)相遇時(shí)間的和，得出相遇后，點(diǎn)和點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，滿足時(shí)的時(shí)間；

（3）當(dāng)線段的中點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)向數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)是x，點(diǎn)表示的數(shù)是y，由此可得，并根據(jù)中點(diǎn)的數(shù)的表示公式，化簡求值即可.

解：（1）依題意得：，并且，

則有， ，

∴，

∴，

（2）

如圖示：

∵

∴設(shè)、兩點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，相遇的時(shí)間是，則，

依題意得：，

解之得：，

由（1）可知，在上出發(fā)秒后，點(diǎn)和點(diǎn)相遇，

∴當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)沒相遇時(shí)，使，

時(shí)間為：，

當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)相遇又分開時(shí)，使，

時(shí)間為：，

即：出發(fā)8秒或者16秒后，，

（3）能與表示的點(diǎn)重合，

線段的中點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)向數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，

如圖示：

點(diǎn)和點(diǎn)在C點(diǎn)相遇，

∴，

∴點(diǎn)C 表示的數(shù)是4，

設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)是x，點(diǎn)表示的數(shù)是y，

則依題意得：，

化簡得：，

并且，根據(jù)中點(diǎn)的數(shù)的表示公式可得：，

即有：，代入，

則可得：，

∴，

∴當(dāng)線段的中點(diǎn)是表示的點(diǎn)時(shí)，從、相遇起經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為： （秒），