Question

【題目】已知，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，點 D 為 BC 的中點．

(1)點 E、F 分別為 AB、AC 上的中點，請按要求作出滿足條件的△ABC 圖形并證明：DE＝DF；

(2)如圖①，若點 E、F 分別為 AB、AC 上的點，且 DE⊥DF，求證：BE＝AF；

(3)若點 E、F 分別為 AB、CA 延長線上的點，且 DE⊥DF，那么 BE＝AF 嗎？請利用圖②說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） BE＝AF，見解析．

【解析】

（1）畫圖并證明△AED≌△AFD，可得DE＝DF；

（2）如圖①，證明△BDE≌△ADF，可得BE＝AF；

（3）如圖②，證明△EDB≌△FDA，可得BE＝AF．

（1）如圖，連接AD．

∵∠A＝90°，AB＝AC，點D為BC的中點，∴∠EAD＝∠FAD．

∵點E、F分別為AB、AC上的中點，∴AEAB，AFAC．

在△AED和△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF；

（2）連接AD，如圖①所示．

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∠B＝45°．

∵點D為BC的中點，∴ADBC＝BD，∠FAD＝45°．

∵∠BDE+∠EDA＝90°，∠EDA+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF．

在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；

（3）BE＝AF．證明如下：

連接AD，如圖②所示．

∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°．

∵∠EDB+∠BDF＝90°，∠BDF+∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA．

在△EDB和△FDA中，∵，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE＝AF．