【題目】如圖1,在平面直徑坐標系中,拋物線與x軸交于點A(﹣3,0).B(1,0),與y軸交于點C

(1)直接寫出拋物線的函數(shù)解析式;

(2)以O(shè)C為半徑的O與y軸的正半軸交于點E,若弦CD過AB的中點M,試求出DC的長;

(3)將拋物線向上平移個單位長度(如圖2)若動點P(x,y)在平移后的拋物線上,且點P在第三象限,請求出PDE的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出PDE面積的最大值.

【答案】(1);(2);(3)SPDE=x0),且PDE面積的最大值為

【解析】(1)將點A(﹣3,0)、B(1,0)代入中,得:,解得:,拋物線的函數(shù)解析式為

(2)令中x=0,則y=﹣2,C(0,﹣2),OC=2,CE=4.

A(﹣3,0),B(1,0),點M為線段AB的中點,M(﹣1,0),CM==

CE為O的直徑,∴∠CDE=90°,∴△COM∽△CDE,,DC=

(3)將拋物線向上平移個單位長度后的解析式為=,令中y=0,即,解得:=,=

點P在第三象限,x0.

過點P作PP′y軸于點P′,過點D作DD′y軸于點D′,如圖所示.

在RtCDE中,CD=,CE=4,DE==,sinDCE==,在RtCDD′中,CD=,CD′D=90°,DD′=CDsinDCE=,CD′==,OD′=CD′﹣OC=,D(),D′(0,),P(x,),P′(0,),SPDE=SDD′E+S梯形DD′P′P﹣SEPP′=DD′ED′+(DD′+PP′)D′P′﹣PP′EP′=x0),SPDE==0,當x=時,SPDE取最大值,最大值為

故:PDE的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為SPDE=x0),且PDE面積的最大值為

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