【題目】本題滿分12分如圖,在平面直角坐標系中拋物線M相交于A、B、C、D四點其中AB兩點的坐標分別為-1,00,-2點D在軸上且AD為M的直徑點E是M與軸的另一個交點,過劣弧上的點F作FHAD于點H,且FH=15

1求點D的坐標及該拋物線的表達式;

2若點P是軸上的一個動點,試求出PEF的周長最小時點P的坐標;

3在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使QCM是等腰三角形?如果存在請直接寫出點Q的坐標;如果不存在,請說明理由

【答案】(1)(4,0),;(2)P(2,0);

(3)Q,),Q,-),Q,-4),Q,-).

【解析】

試題分析:1根據(jù)題意,設點M的坐標為0,根據(jù)兩點間的距離公式半徑相等可以求得,則點D的坐標為4,0,這樣就可以根據(jù)交點式來求解拋物線的解析式:=;

2要在軸上的找到一點P,使得PEF的周長最小,我們先來看E,F兩點這是兩個定點,也就是說EF的長度是不變的,那實際上這個題目就是求PE+PF的最小值,這就變成了軸對稱問題中最為經(jīng)典的放羊問題,要解決這一問題首先我們看圖中有沒有E或F的對稱點根據(jù)題意,顯然是有E點的對稱點B的,那么連接BF與軸的交點就是我們要求的點P2,0

3首先點M本身就在拋物線對稱軸上,其坐標為;點C是點B關于拋物線對稱軸的對稱點所以點C的坐標為3,-2;求Q點的坐標根據(jù)題意可設Q點為QCM是等腰三角形,則可能有三種情況,分別是QC=MC;QM=MC;QC=QM根據(jù)這三種情況就能求得Q點的坐標可能是

試題解析:1A-1,0,B0,-2

OE=OB=2,OA=1,

AD是M的直徑

OE·OB=OA·OD,

即:2=1·OD,OD=4

D4,0,

把A-1,0,B0-2D4,0代入得:

該拋物線的表達式為:

連接AF,DF,

FHAD于點H,AD為直徑

AFH∽△FDH

HF=DH·AH,

E點與B點關于點O對稱,

根據(jù)軸對稱的性質,連接BF交x軸于點P,

A-1,0,D40

AD=5,

設DH=x則AH=5-x,

即15=x5-x,

5x-x=

4x-20x+9=0

2x-1)(2x-9=0,

AH>DH

DH=,

OH=OD-DH=

F35,15,

設直線BF的解析式為,

則35k+b=15;b=-2,

則k=1b=-2,

y=x-2

令y=0,則x=-2,

P20

3Q,Q,-Q,-4Q,-

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