【題目】【定義】已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),連接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,若存在一個三角形與△ABC相似(全等除外),那么就稱P為△ABC的“共相似點(diǎn)”,根據(jù)“共相似點(diǎn)”是否落在三角形的內(nèi)部,邊上或外部,可將其分為“內(nèi)共相似點(diǎn)”,“邊共相似點(diǎn)”或“外共相似點(diǎn)”.
(1)據(jù)定義可知,等邊三角形(填“存在”或“不存在”)共相似點(diǎn).
(2)如圖1,若△ABC的一個邊共相似點(diǎn)P與其對角頂點(diǎn)B的連線,將△ABC分割成的兩個三角形恰與原三角形均相似,試判斷△ABC的形狀,并說明理由.
(3)如圖2,在△ABC中,∠A<∠B<∠C,高線CD與角平分線BE交于點(diǎn)P,若P是△ABC的一個內(nèi)共相似點(diǎn),試說明點(diǎn)E是△ABC的邊共相似點(diǎn),并直接寫出∠A的度數(shù).
(4)如圖3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC= ,若△PBC與△ABC相似,則滿足條件的P點(diǎn)共有個,順次連接所有滿足條件的P點(diǎn)而圍成的多邊形的周長為 .
【答案】
(1)不存在
(2)
解:△ABC是直角三角形,理由如下:
根據(jù)題意得:△ABP∽△ACB,
∴∠ABP=∠C,
同理得:∠CBP=∠A,
∴∠ABC=∠A+∠C=180°﹣∠ABC,
解得:∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)
解:根據(jù)題意得:△PBC∽△CAB,
∴∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠PBC,
∴∠A=∠ABE=∠PBC,
∴∠PCB=∠ABC=2∠A=2∠PBC,
∵∠BCE=∠ACB,∠PBC=∠A,
∴△BEC∽△ABC,
∴點(diǎn)E是△ABC的邊共相似點(diǎn);
∵CD是△ABC的高,
∴∠CDB=90°,
∴∠PCB+∠ABC=90°,
∴2∠A+2∠A=90°,
解得:∠A=22.5°;
(4)8;6+
【解析】解:(1)根據(jù)“共相似點(diǎn)”的定義得:等邊三角形不存在共相似點(diǎn).
所以答案是:不存在;
4)作CP⊥AB于P,則P為△ABC的“共相似點(diǎn)”;
過B作BC的垂線與CP的延長線的交點(diǎn)是△ABC的“共相似點(diǎn)”;
作∠ABC的平分線與AC的交點(diǎn)P1是△ABC的“共相似點(diǎn)”;
過C作BP1的垂線,垂足是△ABC的“共相似點(diǎn)”;
同理:以上四個△ABC的“共相似點(diǎn)”關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)是△ABC的“共相似點(diǎn)”;
∴△ABC的“共相似點(diǎn)”共有8個,如圖所示:
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得:順次連接所有滿足條件的P點(diǎn)而圍成的多邊形的周長為 2×2+4× +2× =6+ ;
所以答案是:8;6+ .
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠CAD和∠CBD的平分線相交于點(diǎn)P.設(shè)∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度數(shù)依次為a、b、c、d,用僅含其中2個字母的代數(shù)式來表示∠P的度數(shù):_____.
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【題目】某市為節(jié)約水資源,制定了新的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).按照新標(biāo)準(zhǔn),用戶每月繳納的水費(fèi)y(元)與每月用水量x(m3)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)若某用戶二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超過25m3),繳納水費(fèi)79.8元,則該用戶二、三月份的用水量各是多少m3?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘漁船在B處測得燈塔A在北偏東60°的方向,另一艘貨輪在C處測得燈塔A在北偏東40°的方向,那么在燈塔A處觀看B和C時的視角∠BAC是多少度?
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【題目】我市某社會團(tuán)體組織人員參觀皇窯瓷展,主辦方對團(tuán)體購票實(shí)行優(yōu)惠:在原定票價的基礎(chǔ)上,每張降價40元,則按原定票價需花費(fèi)6000元購買門票,現(xiàn)在只花了4000元.
(1)求每張門票原定的票價;
(2)在展覽期間,平均每天可售出個人票2000張,現(xiàn)主辦方?jīng)Q定對個人購票也采取優(yōu)惠措施,發(fā)現(xiàn)原定票價每降低2元,平均每天可多售出個人票40張,若要使平均每天的個人票收入達(dá)到241500元,且能有效控制游覽人數(shù),則票價應(yīng)降低多少元?
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【題目】一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等,并且每個外角都等于和它相鄰的內(nèi)角的一半.
(1)求這個多邊形是幾邊形;
(2)求這個多邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù).
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【題目】如圖所示,點(diǎn)A,B,C在一次函數(shù)y=-2x+m的圖象上,它們的橫坐標(biāo)依次為-1,1,2,分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線,則圖中陰影部分的面積之和是( )
A. 3(m-1) B. (m-2) C. 1 D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小蘇和小林在如圖所示的跑道上進(jìn)行4×50米折返跑.在整個過程中,跑步者距起跑線的距離y(單位:m)與跑步時間t(單位:s)的對應(yīng)關(guān)系如下圖所示.下列敘述正確的是( )
A. 兩人從起跑線同時出發(fā),同時到達(dá)終點(diǎn)
B. 小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C. 小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程
D. 小林在跑最后100m的過程中,與小蘇相遇2次
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD,從頂點(diǎn)A引兩條射線分別交BC,CD于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠EAF=45°.
求證:BE+DF=EF.
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