Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且AB=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
（1）若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求經(jīng)過O，C，A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P，O，C，A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若將點(diǎn)O，點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q（-2k，0），點(diǎn)R（5k，0）（k＞1的常數(shù)），設(shè)過Q，R兩點(diǎn)，且以QR的垂直平分線為對(duì)稱軸的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N，其頂點(diǎn)為M，記△QNM的面積為S_△QNM，△QNR的面積為S_△QNR，求S_△QNM：S_△QNR的值．

Answer 1

分析：（1）已知了AB的長(zhǎng)以及∠OAB的正弦值，可過B作BD⊥x軸于D，即可求出BD和AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出OD的長(zhǎng)，由此可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，也就得出了C點(diǎn)坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）本題可分三種情況：
①CP∥OA，可將C點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；然后判斷CP是否與OA相等即可．如果不相等，則四邊形POCA是梯形，反之則不是．
②OP∥AC，先求出直線AC的解析式，由于直線OP與直線AC平行，因此兩函數(shù)的斜率相同，再根據(jù)O點(diǎn)坐標(biāo)，可求出直線OP的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．然后判斷OP是否與AC相等即可．
③AP∥OC，同②．
（3）先根據(jù)Q、R的坐標(biāo)求出拋物線的解析式，然后求出N點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于拋物線的開口方向不確定，因此分兩種情況，由于兩種情況解法相同，以開口向上為例說明：
由于三角形QNM的面積無法直接求出，因此可將其面積化為其他圖形面積的和差來求．過M作MG⊥x軸于G，則三角形QNM的面積可以用梯形QNMG的面積+三角形QON的面積-三角形QMG的面積來得出．然后分別表示出三角形QNM和QNR面積，進(jìn)行比較即可．

解答：解：（1）如圖，
過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D．
在Rt△ABD中，
∵AB=3

5

，sin∠OAB=

5

5

，
∴BD=AB•sin∠OAB=3

5

×

5

5

=3．
又由勾股定理，
得AD=

AB2-BD2

=

(3 5 )2-32

=6．
∴OD=OA-AD=4．
∵點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）．
∴點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，-3）．
設(shè)經(jīng)過O（0，0），C（4，-3），A（10，0）三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx（a≠0）．
由

16a+4b=-3 100a+10b=0

?

a= 1 8 b=- 5 4

．
∴經(jīng)過O，C，A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

8

x²-

5

4

x．

（2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)P，使以P，O，C，A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．
①∵點(diǎn)C（4，-3）不是拋物線y=

1

8

x²-

5

4

x的頂點(diǎn)，
∴過點(diǎn)C作直線OA的平行線與拋物線交于點(diǎn)P₁．
則直線CP₁的函數(shù)表達(dá)式為y=-3．
對(duì)于y=

1

8

x²-

5

4

x，令y=-3，則x=4或x=6．
∴

x1=4 y1=-3

，

x2=6 y2=-3

．
而點(diǎn)C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四邊形P₁AOC中，CP₁∥OA，顯然CP₁≠OA．
∴點(diǎn)P₁（6，-3）是符合要求的點(diǎn)．
②若AP₂∥CO．設(shè)直線CO的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x．
將點(diǎn)C（4，-3）代入，
得4k₁=-3．
∴k₁=-

3

4

．
∴直線CO的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x．
于是可設(shè)直線AP₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x+b₁．
將點(diǎn)A（10，0）代入，
得-

3

4

×10+b₁=0．
∴b₁=

15

2

．
∴直線AP₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x+

15

2

．
由

y=- 3 4 x+ 15 2 y= 1 8 x2- 5 4 x

?x2-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
∴

x1=10 y1=0

，

x2=-6 y2=12

．
而點(diǎn)A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
過點(diǎn)P₂作P₂E⊥x軸于點(diǎn)E，則P₂E=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，
得AP₂=

|P2E|2+|AE|2

=

122+162

=20．
而CO=OB=5．
∴在四邊形P₂OCA中，AP₂∥CO，但AP₂≠CO．
∴點(diǎn)P₂（-6，12）是符合要求的點(diǎn)．
③若OP₃∥CA．設(shè)直線CA的函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x+b₂．
將點(diǎn)A（10，0），C（4，-3）代入，
得

10k2+b2=0 4k2+b2=-3

?

k2= 1 2 b2=-5

．
∴直線CA的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x-5．
∴直線OP₃的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x．
由

y= 1 2 x y= 1 8 x2- 5 4 x

?x2-14x=0，
即x（x-14）=0．
∴

x1=0 y1=0

，

x2=14 y2=7

．
而點(diǎn)O（0，0），
∴P₃（14，7）．
過點(diǎn)P₃作P₃F⊥x軸于點(diǎn)F，則|P₃F|=7．
在Rt△OP₃F中，由勾股定理，
得OP₃=

|P3F|2+|OF|2

=

72+142

=7

5

．
而CA=AB=3

5

．
∴在四邊形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|(zhì)CA|．
∴點(diǎn)P₃（14，7）是符合要求的點(diǎn)．
綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)P₁（6，-3），P₂（-6，12），P₃（14，7），
使以P，O，C，A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．

（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下．
①當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，則此拋物線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N．
可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a（x-

3

2

k）²-

49

4

ak²．
如圖，過點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G．
∵Q（-2k，0），R（5k，0），G（

3

2

k，0），N（0，-10ak²），M（

3

2

k，-

49

4

ak²），
∴QO=2k，QR=7k，OG=

3

2

k，QG=

7

2

k，ON=10ak²，MG=

49

4

ak²．
∴S_△QNR=

1

2

QR•ON=

1

2

×7k×10ak²=35ak³．
S_△QNM=S_△QNO+S_梯形ONMG-S_△QMG=

1

2

•QO•O|+

1

2

（ON+GM）•OG-

1

2

•QG•GM=

1

2

×2k×10ak²+

1

2

×（10ak²+

49

4

ak²）×

3

2

k-

1

2

×

7

2

k×

49

4

ak²=

21

4

ak³．
∴S△QNM：S△QNR=3：20．
②當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，則此拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)N．
同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．
綜上可知，S_△QNM：S_△QNR的值為3：20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定和圖形面積的求法等知識(shí)，要注意判定梯形的過程中不要忘了一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的條件．