Question

【題目】已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是長方形，點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)分別為A（9，0）、C（0，4），D（5，0），點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿O C B A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t=5時(shí)， P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）
（2）當(dāng)t>4時(shí)，OP+PD有最小值嗎？如果有，請算出該最小值，如果沒有，請說明理由。
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△ODP是腰長為5的等腰三角形？（直接寫出t的值）。

Answer 1

【答案】
（1）1,4
（2）解：當(dāng)t＞5時(shí)，OP+PD有最小值。當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，作點(diǎn)O關(guān)于BC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)O′，此時(shí)O′(0，8)，連結(jié)O′D交BC于P，則OP+PD=O′D= ，點(diǎn)P在AB上時(shí)，OP+PD值均比 大，因此OP+PD的最小值是 。
（3）解：t=6或t=6.5或t=7或t=12

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿O → C → B → A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，因?yàn)镺C=4，所以點(diǎn)P在線段CB上距點(diǎn)C1個(gè)單位長的位置，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）；（2）點(diǎn)O關(guān)于BC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(0，8)，連結(jié)O′D交BC于P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到OP+PD的最小值即OP+PD=O′D的值；（3）分①OD=OP=5，②PD=OD=5，③OP=PD=5三種情況討論，根據(jù)題意及勾股定理求解即可.