Question

已知函數(shù)y=（m-1）x²+2mx+m-1．
（1）m=

1

2

 時(shí)，函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
（2）m為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；
（3）若函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）令根的判別式等于0，求出m的值，即可得到結(jié)果；
（2）令根的判別式小于0即可求出m的范圍；
（3）對(duì)于二次函數(shù)解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩個(gè)之和與兩根之積，表示出三角形ABC的面積，根據(jù)已知面積為4即可求出m的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=（m-1）x²+2mx+m-1圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=4m²-4（m-1）²=4m²-4m²+8m-4=0，即m=

1

2

；
故答案為：

1

2

；
（2）∵函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
∴△=4m²-4（m-1）²=4m²-4m²+8m-4＜0，即m＜

1

2

；
（3）對(duì)于二次函數(shù)y=（m-1）x²+2mx+m-1，
令x=0，得到y(tǒng)=m-1，即C（0，m-1），
令y=0，得到（m-1）x²+2mx+m-1=0，
設(shè)此方程的兩根為a，b，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=

2m

m-1

，ab=1，
∴AB=|a-b|=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

4m2 (m-1)2 -4

，
∵△ABC的面積為4，
∴

1

2

AB•y_{C縱坐標(biāo)}=4，即|m-1|×

4m2 (m-1)2 -4

=8，
兩邊平方得：4m²-4（m-1）²=64，即8m=68，
解得：m=

17

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．