Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

4

3

x+12與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO、OB、BA上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度、4個(gè)單位長(zhǎng)度、5個(gè)單位長(zhǎng)度，直線l從與x軸重合的位置出發(fā)，以每秒

4

3

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸向上平移，移動(dòng)過程中直線l分別與直線OB、AB交于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)P與直線l同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A時(shí)，直線l和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)解答下列問題：
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合？
（4）當(dāng)點(diǎn)P在AO-OB上，且點(diǎn)P、E、F不在同一直線上時(shí)，設(shè)△PEF的面積為S，請(qǐng)直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)求出即可；
（2）點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，首先算出點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，以及點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的距離，再進(jìn)一步可以看作是追擊問題解答；
（3）點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，應(yīng)是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BA邊上時(shí)，首先計(jì)算出點(diǎn)P在OA、OB邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和，以及點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的距離；進(jìn)一步利用相似三角形算出點(diǎn)F所在的位置，利用相遇問題解決；
（4）分情況探討：
①當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)，即0＜t≤3；②當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)，即3＜t≤6；利用三角形的面積求出即可．

解答：解：（1）令x=0，得y=12，令y=0，得x=9
∴與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，12），與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0）；
（2）點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為9÷3=3秒，

點(diǎn)E在OB上移動(dòng)的距離為3×

4

3

=4，
點(diǎn)P和點(diǎn)E重合的時(shí)間為：3+4÷（4-

4

3

）=

9

2

秒，
當(dāng)t=

9

2

秒，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；

（3）點(diǎn)P在OA、OB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和為9÷3+12÷4=6秒，
點(diǎn)E在OB上移動(dòng)的距離為6×

4

3

=8，
AB=

122+92

=15
∵EF∥OA
∴△BEF∽△BOA
∴

BE

BO

=

BF

BA

即

12-8

12

=

BF

15

解得BF=5，
則點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的速度為（15-5）÷6=

5

2

個(gè)單位/秒，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合的時(shí)間為5÷（5+

5

2

）+6=

20

3

秒；

（4）∵EF∥OA
∴△BEF∽△BOA

EF

OA

=

BE

BO

即

EF

9

=

12- 4 3 t

12

EF=9-t
①當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)，即0＜t≤3；
S=

1

2

×（9-t）×

4

3

t=-

2

3

t²+6t；
②當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)，即3＜t≤6且t≠

9

2

；
S=

1

2

×（9-t）×4（t-3）=-2t²+24t-54．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意答案的不唯一性．