Question

（2012•河源）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：
①分別以A、C為圓心，以大于

1

2

AC的長(zhǎng)為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N；
②連接MN，分別交AB、AC于點(diǎn)D、O；
③過(guò)C作CE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）當(dāng)∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周長(zhǎng)為18時(shí)，求四邊形ADCE的面積．

Answer 1

分析：（1）利用直線DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，進(jìn)而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE是菱形；
（2）利用當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的長(zhǎng)即可得出四邊形ADCE的面積．

解答：（1）證明：由題意可知：
∵分別以A、C為圓心，以大于

1

2

AC的長(zhǎng)為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N；
∴直線DE是線段AC的垂直平分線，
∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；
且AD=CD、AO=CO，
又∵CE∥AB，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△COE中

∠1=∠2 ∠AOD=∠COE=90° AO=CO

，
∴△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
∵A0=CO，DO=EO，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
又∵AC⊥DE，
∴四邊形ADCE是菱形；

（2）解：當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，
OD∥BC，
即有△ADO∽△ABC，
∴

OD

BC

=

AO

AC

=

1

2

，
又∵BC=6，
∴OD=3，
又∵△ADC的周長(zhǎng)為18，
∴AD+AO=9，
 即AD=9-AO，
∴OD=

AD2-AO2

=3，
可得AO=4，
∴DE=6，AC=8，
∴S=

1

2

AC•DE=

1

2

×8×6=24．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定以及對(duì)角線垂直的四邊形面積求法，根據(jù)已知得出△ADO∽△ABC進(jìn)而求出AO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．