Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為（0，4）且與x軸交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為A、B，與原拋物線的交點(diǎn)為P．
①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（0，4），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+4，

又∵拋物線過點(diǎn)（2，0），

∴0=4a+4，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4；

（2）

解：①如圖，連接CE，CD．

∵OD是⊙C的切線，∴CE⊥OD．

在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，

∴∠EDC=30°，

∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，

∴OC= ，

∴當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切時，k=OC= ；

②存在k=2 ，能夠使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上．理由如下：

設(shè)拋物線y=﹣x2+4向右平移k個單位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它與y=﹣x2+4交于點(diǎn)P，

由﹣（x﹣k）2+4=﹣x2+4，解得x1= ，x2=0（不合題意舍去），

當(dāng)x= 時，y=﹣ k2+4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ，﹣ k2+4）．

設(shè)直線OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，

得mk=4，解得m= ，

∴直線OD的解析式為y= x，

若點(diǎn)P（ ，﹣ k2+4）在直線y= x上，得﹣ k2+4= ，

解得k=±2 （負(fù)值舍去），

∴當(dāng)k=2 時，O、P、D三點(diǎn)在同一條直線上．

【解析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)為（0，4），可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+4，再將點(diǎn)（2，0）代入，求出a=﹣1，即可得到拋物線解析式為y=﹣x2+4；（2）①連接CE，CD，先根據(jù)切線的性質(zhì)得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后解Rt△CDO，得出OC= ，則k=OC= ；②設(shè)拋物線y=﹣x2+4向右平移k個單位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它與y=﹣x2+4交于點(diǎn)P，先求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ，﹣ k2+4），再利用待定系數(shù)法求出直線OD的解析式為y= x，然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y= x，即可求出k的值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．