【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線l是拋物線的對稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAC的周長最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M,使△MAC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(4)問:若拋物線頂點(diǎn)為D,點(diǎn)Q為直線AC上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△DOQ的周長最小時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo)
【答案】
(1)
解:方法一:
將A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c中,得:
,
解得:
∴拋物線的解析式:y=﹣x2+2x+3
方法二:
∵A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3),
∴y=﹣(x+1)(x﹣3),即y=﹣x2+2x+3
(2)
解:方法一:
連接BC,直線BC與直線l的交點(diǎn)為P;
∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對稱,
∴PA=PB,
∴BC=PC+PB=PC+PA
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),將B(3,0),C(0,3)代入上式,得:
,解得:
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+3;
當(dāng)x=1時(shí),y=2,即P的坐標(biāo)(1,2)
方法二:
連接BC,
∵l為對稱軸,
∴PB=PA,
∴C,B,P三點(diǎn)共線時(shí),△PAC周長最小,把x=1代入lBC:y=﹣x+3,得P(1,2)
(3)
解:方法一:
拋物線的對稱軸為:x=﹣ =1,設(shè)M(1,m),已知A(﹣1,0)、C(0,3),則:
MA2=m2+4,MC2=(3﹣m)2+1=m2﹣6m+10,AC2=10;
①若MA=MC,則MA2=MC2,得:
m2+4=m2﹣6m+10,得:m=1;
②若MA=AC,則MA2=AC2,得:
m2+4=10,得:m=± ;
③若MC=AC,則MC2=AC2,得:
m2﹣6m+10=10,得:m1=0,m2=6;
當(dāng)m=6時(shí),M、A、C三點(diǎn)共線,構(gòu)不成三角形,不合題意,故舍去;
綜上可知,符合條件的M點(diǎn),且坐標(biāo)為 M(1, )(1,﹣ )(1,1)(1,0).
方法二:
設(shè)M(1,t),A(﹣1,0),C(0,3),
∵△MAC為等腰三角形,
∴MA=MC,MA=AC,MC=AC,
(1+1)2+(t﹣0)2=(1﹣0)2+(t﹣3)2,∴t=1,
(1+1)2+(t﹣0)2=(﹣1﹣0)2+(0﹣3)2,∴t=± ,
(1﹣0)2+(t﹣3)2=(﹣1﹣0)2+(0﹣3)2,∴t1=6,t2=0,
經(jīng)檢驗(yàn),t=6時(shí),M、A、C三點(diǎn)共線,故舍去,
綜上可知,符合條件的點(diǎn)有4個(gè),M1(1, ),M2(1,﹣ ),M3(1,1),M4(1,0)
(4)
解:作點(diǎn)O關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)O交AC于H,
作HG⊥AO,垂足為G,
∴∠AHG+∠GHO=90°,∠AHG+∠GAH=90°,
∴∠GHO=∠GAH,
∴△GHO∽△GAH,
∴HG2=GOGA,
∵A(﹣1,0),C(0,3),
∴l(xiāng)AC:y=3x+3,H(﹣ , ),
∵H為OO′的中點(diǎn),
∴O′(﹣ , ),
∵D(1,4),
∴l(xiāng)O′D:y= x+ ,lAC:y=3x+3,
∴x=﹣ ,y= ,
∴Q(﹣ , )
【解析】方法一:(1)直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可.(2)由圖知:A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知:若連接BC,那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn).(3)由于△MAC的腰和底沒有明確,因此要分三種情況來討論:①M(fèi)A=AC、②MA=MC、③AC=MC;可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長,再按上面的三種情況列式求解.
方法二:(1)略.(2)找出A點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)B,根據(jù)C,P,B三點(diǎn)共線求出BC與對稱軸的交點(diǎn)P.(3)用參數(shù)表示的點(diǎn)M坐標(biāo),分類討論三種情況,利用兩點(diǎn)間距離公式就可求解.(4)先求出AC的直線方程,利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直線方程,并求出H點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出O’坐標(biāo),求出DO’直線方程后再與AC的直線方程聯(lián)立,求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的概念的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù).
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【題目】為弘揚(yáng)“敬老愛老”傳統(tǒng)美德,某校八年級(1)班的學(xué)生要去距離學(xué)校10km的敬老院看望老人,一部分學(xué)生騎自行車先走,過了20min后,其余學(xué)生乘汽車出發(fā),結(jié)果乘汽車的同學(xué)早到10min.已知汽車的速度是騎車學(xué)生的4倍,求騎車學(xué)生的速度.
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【題目】某化妝品店老板到廠家選購A、B兩種品牌的化妝品,若購進(jìn)A品牌的化妝品5套,B品牌的化妝品6套,需要950元;若購進(jìn)A品牌的化妝品3套,B品牌的化妝品2套,需要450元.
求A、B兩種品牌的化妝品每套進(jìn)價(jià)分別為多少元?
若銷售1套A品牌的化妝品可獲利30元,銷售1套B品牌的化妝品可獲利20元,根據(jù)市場需求,化妝品店老板決定,購進(jìn)B品牌化妝品的數(shù)量比購進(jìn)A品牌化妝品數(shù)量的2倍還多4套,且B品牌化妝品最多可購進(jìn)40套,這樣化妝品全部售出后,可使總的獲利不少于1200元,問有幾種進(jìn)貨方案?如何進(jìn)貨?
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【題目】如圖,在□ABCD中,AD=2AB,F是AD的中點(diǎn),作CE⊥AB,垂足E在線段AB上,連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是 ( )
①2∠DCF=∠BCD; ②EF=CF; ③S△BEC=2S△CEF; ④∠DFE=3∠AEF.
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①② D. ②③
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【題目】某小區(qū)為了綠化環(huán)境,計(jì)劃分兩次購進(jìn)A、B兩種花草,第一次分別購進(jìn)A、B兩種花草30棵和15棵,共花費(fèi)675元;第二次分別購進(jìn)A、B兩種花草12棵和5棵.兩次共花費(fèi)940元(兩次購進(jìn)的A、B兩種花草價(jià)格均分別相同).
(1)A、B兩種花草每棵的價(jià)格分別是多少元?
(2)若購買A、B兩種花草共31棵,且B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍,請你給出一種費(fèi)用最省的方案,并求出該方案所需費(fèi)用.
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【題目】某學(xué)校對學(xué)生的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)分成A、B、C、D、E五組進(jìn)行整理,并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖表(圖中信息不完整).
組別 | 閱讀時(shí)間x(時(shí)) | 人數(shù) |
A | 0≤x<10 | k |
B | 10≤x<20 | 100 |
C | 20≤x<30 | m |
D | 30≤x<40 | 140 |
E | x≥40 | n |
請結(jié)合以上信息解答下列問題
(1)閱讀時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)表中k、m、n的值分別是 、 、 ;
(2)補(bǔ)全“閱讀人數(shù)分組統(tǒng)計(jì)圖”;
(3)若全校有3000名學(xué)生,請估算全校課外閱讀時(shí)間在20小時(shí)以下(不含20小時(shí))的
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,a),B(0,6),C(b,6),且滿足a=+8.
(1)請直接寫出A、C、D三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),A ,C ,D ;
(2)連接線段BD、OD,試求三角形BOD的面積;
(3)若長方形ABCD以每秒1個(gè)單位長度勻速向下運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,問是否存在某一時(shí)刻,三角形BOD的面積與長方形ABCD的面積相等?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某電腦公司開發(fā)出一種軟件,從研發(fā)到年初上市后,經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程,如圖中的圖象是拋物線的一段,它刻畫了該軟件上市以來累積利潤S(萬元)與銷售時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系(即前t個(gè)月的利潤總和S與t之間的函數(shù)關(guān)系),根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問題:
(1)該種軟件上市第幾個(gè)月后開始盈利?
(2)求累積利潤S(萬元)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)截止到幾月末,公司累積利潤達(dá)到30萬元?
(4)求公司第6個(gè)月末所累積的利潤.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AD與過點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,直線DC與AB的延長線相交于點(diǎn)P,弦CE平分∠ACB,交AB于點(diǎn)F,連接BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)求證:△PCF是等腰三角形;
(3)若AF=6,EF=2 ,求⊙O 的半徑長.
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