Question

【題目】對任意一個四位正整數數m，若其千位與百位上的數字之和為9，十位與個位上的數字之和也為9，那么稱m為“重九數”，如：1827、3663．將“重九數”m的千位數字與十位數字對調，百位數字與個位數字對調，得到一個新的四位正整數數n，如：m＝2718，則n＝1827，記D（m，n）＝m+n．

（1）請寫出兩個四位“重九數”：　 　，　 　．

（2）求證：對于任意一個四位“重九數”m，其D（m，n）可被101整除．

（3）對于任意一個四位“重九數”m，記f（m，n）＝，當f（m，n）是一個完全平方數時，且滿足m＞n，求滿足條件的m的值．

Answer 1

【答案】（1）3645，7263；（2）見解析；（3）9054、8163、6318、5427、4536

【解析】

（1）根據“重九數“定義寫出兩個符合要求的數即可；

（2）將m的各個數位上的數字用字母表示，得出D（m，n）的表達式，一定有因數101；

（3）先得出f（m，n）的表達式，再根據完全平方數的特征得出不定方程，解不定方程即可求出m的值．

解：（1）根據“重九數“定義寫出兩個符合要求的數即可，3645，7263，（答案不唯一，符合題意即可），

故答案為：3645，7263；

（2）證明：設任意一個“重九數“m為，（a，b，c，d均為1～9的自然數），則n為，

∴D（m，n）＝m+n＝1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b＝101（10a+10c+b+d），

∴D（m，n）可被101整除；

（3）由（2）可知，對于任意的“重九數“m＝，有D（m，n）＝101（10a+10c+b+d），

∴f（m，n）＝10a+10c+b+d，

∵a+b＝9，c+d＝9，

∴b＝9﹣a，d＝9﹣c，

∴f（m，n）＝10a+10c+b+d＝10a+10c+9﹣a+9﹣c＝9a+9c+18＝9（a+c+2），

∵f（m，n）是完全平方數，9是完全平方數，

∴a+c+2是完全平方數，

∵1≤a≤9，1≤c≤9，且m＞n，

∴a＞c，5≤a+c+2≤19，

∴a+c+2＝9或16，

當a+c+2＝9時，解得或或．

當a+c+2＝16時，解得或．

綜上所述，滿足要求的m的值有：9054、8163、6318、5427、4536．