Question

【題目】在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，點D是BC上一動點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，線段EF的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，過點B作BG⊥AC，過點A作AH⊥BC，連接AD，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求BC的長，由面積法可求AH的長，可證點A，點E，點D，點F四點在以AD為直徑的圓上，設圓心為O，連接OE，OF，可得EF=2OEcos30°，當⊙O的直徑最小時，EF的長最小，即可求解．

如圖，過點B作BG⊥AC，過點A作AH⊥BC，連接AD，

∵AB=5，∠BAC=60°，BG⊥AC，

∴AG=，BG=AG=，

∵AC=8，AG=，

∴GC=，

∴BC===7，

∵S△ABC=BCAH=ACBG，

∴AH=，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∴∠AED+∠AFD=180°，

∴點A，點E，點D，點F四點在以AD為直徑的圓上，設圓心為O，連接OE，OF，

∴∠EOF=120°，

∴EF=2OEcos30°，

∴當⊙O的直徑最小時，EF的長最小，

∴AD與AH重合時，EF最小，

∴EF最小值為