Question

【題目】（本小題滿分9分）

已知：△ABC是任意三角形．

（1）如圖1所示，點(diǎn)M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．求證：∠MPN=∠A．

（2）如圖2所示，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且， ，點(diǎn)P1、P2是邊BC的三等分點(diǎn)，你認(rèn)為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確？請說明你的理由．

（3）如圖3所示，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且， ，點(diǎn)P1、P2、……、P2009是邊BC的2010等分點(diǎn)，則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．

（請直接將該小問的答案寫在橫線上．）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）正確；（3）∠A．

【解析】⑴證明：∵點(diǎn)M、P、N分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，

∴線段MP、PN是△ABC的中位線，

∴MP∥AN，PN∥AM， 1分

∴四邊形AMPN是平行四邊形， 2分

∴∠MPN=∠A. 3分

⑵∠MP1N+∠MP2N=∠A正確. 4分

如圖所示，連接MN， 5分

∵，∠A=∠A，

∴△AMN∽△ABC，

∴∠AMN=∠B， ，

∴MN∥BC，MN=BC， 6分

∵點(diǎn)P1、P2是邊BC的三等分點(diǎn)，

∴MN與BP1平行且相等，MN與P1P2平行且相等，MN與P2C平行且相等，

∴四邊形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四邊形，

∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，

7分

∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，

∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A.

8分

⑶∠A. 9分