【題目】如圖,正三角形ABC內(nèi)接于⊙O,P是BC上的一點,且PB<PC,PA交BC于E,點F是PC延長線上的點,CF=PB,AB=,PA=4.
(1)求證:△ABP≌△ACF;
(2)求證:AC2=PAAE;
(3)求PB和PC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)PB=1,PC=3.
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ACF=∠ABP,于是可根據(jù)“SAS”判斷△ABP≌△ACF;
(2)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°,再根據(jù)圓周角定理得∠APC=∠ABB=60°,加上∠CAE=∠PAC,于是可判斷△ACE∽△APC,然后利用相似比即可得到結(jié)論;
(3)先利用AC2=PAAE計算出AE= ,則PE=AP-AE= ,再證△APF為等邊三角形,得到PF=PA=4,則有PC+PB=4,接著證明△ABP∽△CEP,得到PBPC=PEA=3,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的兩實數(shù)解,再解此方程即可得到PB和PC的長.
試題解析:
(1)∵∠ACP+∠ABP=180°,
又∠ACP+∠ACF=180°,
∴∠ABP=∠ACF
在和中,
∵AB=AC,∠ABP=∠ACF,
∴≌.
(2)在和中,
∵∠APC=∠ABC,
而是等邊三角形,故∠ACB=∠ABC=60,
∴∠ACE =∠APC .
又∠CAE =∠PAC ,
∴∽
∴,即.
由(1)知≌,
∴∠BAP=∠CAF,
∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC
∴∠PAF=∠BAC=60°,又∠APC=∠ABC=60°.
∴是等邊三角形
∴AP=PF
∴
在與中,
∵∠BAP=∠ECP ,
又∠APB=∠EPC=60°,
∴∽
∴,即
由(2),
∴
∴
∴
因此PB和PC的長是方程的解.
解這個方程,得, .
∵PB<PB,∴PB=,PC=,
∴PB和PC的長分別是1和3。
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【題目】如圖,已知八邊形ABCDEFGH中4個正方形的面積分別為25,144,48,121個平方單位,PR=13(單位),則該八邊形的面積= 平方單位.
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【題目】下列說法中,正確的是( )
A.三點確定一個圓B.三角形有且只有一個外接圓
C.圓有且只有一個內(nèi)接三角形D.相等的圓心角所對的弧相等
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【題目】為測山高,在點A處測得山頂D的仰角為31°,從點A向山方向前進140米到達點B,在B處測得山頂D的仰角為62°(如圖).
(1)在所給的圖②中尺規(guī)作圖:過點D作DC⊥AB,交AB的延長線于點C;
(2)山高DC是多少(結(jié)果取整數(shù))?
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【題目】為鼓勵居民節(jié)約用水,某市決定對居民用水收費實行“階梯價”,即當每月用水量不超過15噸時(包括15噸),采用基本價收費;當每月用水量超過15噸時,超過部分每噸采用市場價收費.小蘭家4、5月份的用水量及收費情況如下表:
月份 | 用水量(噸) | 水費(元) |
4 | 22 | 51 |
5 | 20 | 45 |
(1)求該市每噸水的基本價和市場價.
(2)設(shè)每月用水量為n噸,應(yīng)繳水費為m元,請寫出m與n之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)小蘭家6月份的用水量為26噸,則她家要繳水費多少元?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中點,點E是線段AB上一動點,連接EM并延長交線段CD的延長線于點F.
(1)如圖1,求證:AE=DF;
(2)如圖2,若AB=2,過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G,求證:△GEF是等腰直角三角形
(3)如圖3,若AB=2,過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G.判斷△GEF的形狀,并說明理由.
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