【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC=20,tanB=,點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(D不與點(diǎn)B,C重合).以D為頂點(diǎn)作∠ADE=∠B,射線DE交AC邊于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF⊥AD交射線DE于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)當(dāng)DE∥AB時(shí)(如圖2),求AE的長;
(3)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在某個(gè)位置,使得DF=CF?若存在,求出此時(shí)BD的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng) 的過程中,存在某個(gè)位置,使得DF=CF,此時(shí)BD=18.
【解析】
(1)根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可;
(2)解直角三角形求出BC,由△ABD∽△DCE,推出=,可得DB===,由DE∥AB,推出=,求出AE即可;
(3)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中,存在某個(gè)位置,使得DF=CF.過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M,AN⊥FH于點(diǎn)N,則∠NHA=∠AMH=∠ANH=90°,由△AFN∽△ADM,可得==tan∠ADF=tanB=,推出CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7,再利用等腰三角形的性質(zhì),求出CD即可解決問題.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B,
∴∠BAD=∠CDE.
∴△ABD∽△DCE.
(2)過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M.
在Rt△ABM中,設(shè)BM=4k,則AM=BM·tanB=4k·=3k.
由勾股定理,得:AB2=AM2+BM2,得:
202=(3k)2+(4k)2,解得:k=4.
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BC=2BM=8k=32.
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE.
又∵∠ADE=∠B,∠B=∠ACB,
∴∠BAD=∠ACB.
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA,
∴=,則DB===.
∵DE∥AB,
∴=,
∴AE===.
(3)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中,存在某個(gè)位置,使得DF=CF.
過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H,過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M,AN⊥FH于點(diǎn)N,則∠NHA=∠AMH=∠ANH=90°.
∴四邊形AMHN為矩形.
∴∠MAN=90°,MH=AN.
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BM=CM=BC=×32=16.
在Rt△ABM中,由勾股定理,得:AM===12.
∵AN⊥FH,AM⊥BC,
∴∠ANF=90°=∠AMD.
∵∠DAF=90°=∠MAN,
∴∠NAF=∠MAD,
∴△AFN∽△ADM.
∴==tan∠ADF=tanB=.
∴AN=AM=×12=9.
∴CH=CM-MH=CM-AN=16-9=
當(dāng)DF=CF時(shí),由點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合時(shí),可知△DFC為等腰三角形.
又∵FH⊥DC,
∴CD=2CH=14.
∴BD=BC-CD=32-14=18.
∴點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng) 的過程中,存在某個(gè)位置,使得DF=CF,此時(shí)BD=18.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為調(diào)查“停課不停學(xué)”期間九年級(jí)學(xué)生平均每天上網(wǎng)課時(shí)長,隨機(jī)抽取了名九年級(jí)學(xué)生做網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.共四個(gè)選項(xiàng):小時(shí)以下)、小時(shí))、小時(shí)), 小時(shí)以上),每人只能選一
項(xiàng).并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.
被調(diào)查學(xué)生平均每天上網(wǎng)課時(shí)間統(tǒng)計(jì)表
時(shí)長 | 所占百分比 |
合計(jì) |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
, ,
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
該校有九年級(jí)學(xué)生名,請你估計(jì)仝校九年級(jí)學(xué)生平均每天上網(wǎng)課時(shí)長在小時(shí)及以上的共多少名;
在被調(diào)查的對象中,平均每天觀看時(shí)長超過小時(shí)的,有名來自九班,名來自九班,其余都來自九班,現(xiàn)教導(dǎo)處準(zhǔn)備從選項(xiàng)中任選兩名學(xué)生進(jìn)行電話訪談,請用列表法或畫樹狀圖的方法求所抽取的名學(xué)生恰好來自同一個(gè)班級(jí)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,邊形為菱形,點(diǎn)為對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接并延長交于點(diǎn),連接.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,若,且,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在水果銷售旺季,某水果店購進(jìn)一優(yōu)質(zhì)水果,進(jìn)價(jià)為20元/千克,售價(jià)不低于20元/千克,且不超過32元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y(千克)與該天的售價(jià)x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
銷售量y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售價(jià)x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天這種水果的售價(jià)為23.5元/千克,求當(dāng)天該水果的銷售量.
(2)如果某天銷售這種水果獲利150元,那么該天水果的售價(jià)為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著智能手機(jī)的普及率越來越高以及移動(dòng)支付的快捷高效性,中國移動(dòng)支付在世界處于領(lǐng)先水平.為了解人們平時(shí)最喜歡用哪種移動(dòng)支付方式,因此在某步行街對行人進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果分別整理的不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖.
移動(dòng)支付方式 | 支付寶 | 微信 | 其他 |
人數(shù)/人 |
| 200 | 75 |
請你根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖提供的信息.完成下列問題:
(1)在此次調(diào)查中,使用支付寶支付的人數(shù);
(2)求表示微信支付的扇形所對的圓心角度數(shù);
(3)某天該步行街人流量為10萬人,其中30%的人購物并選擇移動(dòng)支付,請你依據(jù)此次調(diào)查獲得的信息估計(jì)一下當(dāng)天使用微信支付的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店準(zhǔn)備購進(jìn)兩種商品,種商品毎件的進(jìn)價(jià)比種商品每件的進(jìn)價(jià)多20元,用3000元購進(jìn)種商品和用1800元購進(jìn)種商品的數(shù)量相同.商店將種商品每件的售價(jià)定為80元,種商品每件的售價(jià)定為45元.
(1)種商品每件的進(jìn)價(jià)和種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元?
(2)商店計(jì)劃用不超過1560元的資金購進(jìn)兩種商品共40件,其中種商品的數(shù)量不低于種商品數(shù)量的一半,該商店有幾種進(jìn)貨方案?
(3)端午節(jié)期間,商店開展優(yōu)惠促銷活動(dòng),決定對每件種商品售價(jià)優(yōu)惠()元,種商品售價(jià)不變,在(2)條件下,請?jiān)O(shè)計(jì)出銷售這40件商品獲得總利潤最大的進(jìn)貨方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和直線的解析式.
(2)將一次函數(shù)的圖象沿軸向下平移個(gè)單位長度,使平移后的圖象與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖1,拋物線與x軸交于,兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn).
求拋物線解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);
若直線l過點(diǎn)D,P為直線l上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以A、B、P為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí),求直線l的解析式;
如圖2,E為OB的中點(diǎn),將線段OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,旋轉(zhuǎn)角為,連接、,當(dāng)取得最小值時(shí),求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線與相交于,兩點(diǎn),是的直徑,是上一點(diǎn),于點(diǎn),連結(jié),且平分.
(1)求證:是的切線;
(2)若,,求的半徑;
(3)如圖2,在(2)的條件下,點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn),連接,,,問:線段,,之間存在什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.
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