Question

（2012•葫蘆島一模）在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC的延長線于點F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG．
（1）如圖1，證明平行四邊形ECFG為菱形；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，M是EF的中點，求∠BDM的度數；
（3）如圖3，若∠ABC=120°，請直接寫出∠BDG的度數．

Answer 1

分析：（1）平行四邊形的性質可得AD∥BC，AB∥CD，再根據平行線的性質證明∠CEF=∠CFE，根據等角對等邊可得CE=CF，再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱形；
（2）首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根據∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度數；
（3）延長AB、FG交于H，連接HD，求證平行四邊形AHFD為菱形，得出△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，證明△BHD≌△GFD，即可得出答案．

解答：解：（1）證明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四邊形ECFG是平行四邊形，
∴四邊形ECFG為菱形．

（2）如圖，連接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形，
又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，
∠ECF=90°，
∴四邊形ECFG為正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M為EF中點，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵

BE=CD ∠BEM=∠DCM EM=CM

，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∴∠BDM=45°；

（3）∠BDG=60°，
延長AB、FG交于H，連接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四邊形AHFD為平行四邊形，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴△DAF為等腰三角形，
∴AD=DF，
∴平行四邊形AHFD為菱形，
∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF，
在△BHD與△GFD中，
∵

DH=DF ∠BHD=∠GFD BH=GF

，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．

點評：此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，菱形的判定與性質等知識點，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．