Question

（2012•葫蘆島一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+

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2

(a≠0)經(jīng)過A（-3，0），C（5，0）兩點，點B為拋物線頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P從點B出發(fā)，沿線段BD向終點D作勻速運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t，過點P作PM⊥BD，交BC于點M，以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ，邊QN交BC于點R，延長NM交AC于點E．
①當t為何值時，點N落在拋物線上；
②在點P運動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求出此時刻的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A、C坐標代入拋物線解析式得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點B的坐標，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例用t表示出PM，再求出NE的長度，①表示出點N的坐標，再根據(jù)點N在拋物線上，把點N的坐標代入拋物線，解方程即可得解；②根據(jù)PM的長度表示出QD，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后根據(jù)直線BC的解析式求出點R的橫坐標，從而求出QR的長度，再表示出EC的長度，然后根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等列式求解即可．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+

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2

經(jīng)過A（-3，0），C（5，0）兩點，
∴

9a-3b+ 15 2 =0 25a+5b+ 15 2 =0

，
解得

a=- 1 2 b=1

，
所以，拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+x+

15

2

；

（2）∵y=-

1

2

x²+x+

15

2

，
=-

1

2

（x²-2x+1）+

1

2

+

15

2

，
=-

1

2

（x-1）²+8，
∴點B的坐標為（1，8），
∵拋物線的對稱軸與x軸交于點D，
∴BD=8，CD=5-1=4，
∵PM⊥BD，
∴PM∥CD，
∴△BPM∽△BDC，
∴

BP

BD

=

PM

CD

，
即

t

8

=

PM

4

，
解得PM=

1

2

t，
所以，OE=1+

1

2

t，
∵四邊形PMNQ為正方形，
∴NE=8-t+

1

2

t=8-

1

2

t，
①點N的坐標為（1+

1

2

t，8-

1

2

t），
若點N在拋物線上，則-

1

2

（1+

1

2

t-1）²+8=8-

1

2

t，
整理得，t（t-4）=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=4，
所以，當t=4秒時，點N落在拋物線上；

②存在．
理由如下：∵PM=

1

2

t，四邊形PMNQ為正方形，
∴QD=NE=8-

1

2

t，
設直線BC的解析式為y=kx+m，
則

k+m=8 5k+m=0

，
解得

k=-2 m=10

，
所以直線BC的解析式為y=-2x+10，
則-2x+10=8-

1

2

t，
解得x=

1

4

t+1，
所以，QR=

1

4

t+1-1=

1

4

t，
又EC=CD-DE=4-

1

2

t，
根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得QR=EC，
即

1

4

t=4-

1

2

t，
解得t=

16

3

，
此時點P在BD上，所以，當t=

16

3

時，四邊形ECRQ為平行四邊形．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式），相似三角形的判定與性質，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，綜合性較強，但難度不大，仔細分析便不難求解．