Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B（A在B左側(cè)）兩點， 一次函數(shù)y=-x+4與坐標軸分別交于點C、D，與拋物線交于點M、N，其中點M的橫坐標是.

（1）求出點C、D的坐標；

（2）求拋物線的表達式以及點A、B的坐標；

（3）在平面內(nèi)存在動點P（P不與A，B重合），滿足∠APB為直角，動點P到直線CD的距離是否有最小值，如果有，請直接寫出這個最小值的結(jié)果；如果沒有，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) C(0,4)，D(4,0)；（2）； A(-2,0),B（2,0）；（3）.

【解析】試題分析：（1）點C、D一次函數(shù)y=-x+4與坐標軸的交點坐標，求解即可；（2）根據(jù)點M在直線y=-x+4上，求得點M的坐標，再代入求得a值，即可得拋物線的解析式；（3）如圖，以AB為直徑作⊙O，過點O作OG⊥CD于點G，交⊙O于點P，此時點P到直線CD的距離最小.由點C、D的坐標可得△COD為等腰直角三角形，利用勾股定理求得CD=4，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得OG=2，根據(jù)點A、B的坐標求得AB=4，即可得OP=2，所以PG=OG-OP=2-2.

試題解析：

(1)把x=0代入y=-x+4得y=4 ，

∴C(0,4) .

把y=0代入y=-x+4得x=4，

∴D(4,0) .

(2)把x=代入y=-x+4得y=，

∴M(,)，

把M(,)代入得 ，

∴a= .

∴.

當y=0時， ，

解得： ，

所以A(-2,0),B（2,0）.

（3）動點P到直線CD的距離最小值是