【題目】(13分)如圖所示,四邊形中, 于點, , ,點為線段上的一個動點。
(1)求證: 。
(2)過點分別作于點,作于點。
① 試說明為定值。
② 連結(jié),試探索:在點運動過程中,是否存在點,使的值最小。若存在,請求出該最小值;若不存在,請說明理由。
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)由AC⊥BD,AO=CO,可知BD是AC的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AD=DC,AB=BC,同理可得AD=AB,CD=BC,故AB=BC=CD=AD;或先根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形先證四邊形ABCD是平行四邊形,然后根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形證明四邊形ABCD是菱形,進而得出結(jié)論;
(2)連接DP,根據(jù)題意可知: S△ADC=S△ADP+S△CDP,由三角形的面積公式可知: ACOD =ADPM+DCPH,將AC、OD、AD、DC的長代入化簡即可;
(3))由PM+PH為定值,當(dāng)PB最短時,PM+PH+PB有最小值,由垂線的性質(zhì)可知當(dāng)點P與點O重合時,OB有最小值.
試題解析:
(1)證明:∵AO=CO,BD⊥AC,
∴AD=CD,AB=BC ,
同理可得AD=AB,CD=BC,
∴AB=BC=CD=AD;
另證:∵AO=CO,BO=DO,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵AC⊥BD,
∴四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
(2)證明:∵AC⊥BD,BO=DO=5,AO=CO=12,
∴由勾股定理得AD=CD=13,
連結(jié)DP則S△ADC=S△ADP+S△CDP ,
又∵PM⊥AD,PH⊥DC,DO⊥AC,
∴
∴
∴即為定值;
(3)存在點,使的值最。
由(2)可知, 為定值
∴要使PM+PH+PB最小,則PB要取最小值
∵BO⊥AC,
∴當(dāng)P與O重合時,PB最小,最小值為OB=5,
∴PM+PH+PB的最小值為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l1∥l2 , 直線l和直線l1、l2分別交于點C和D,在直線l上有一點P(點P與點C,D不重合),點A在直線l1上,點B在直線l2上.
(1)當(dāng)點P在C,D之間運動時,試說明:∠PAC+∠PBD=∠APB;
(2)當(dāng)點P在直線l1的上方運動時,試探索∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系又是如何?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)報道,2017年11月11日淘寶網(wǎng)一天的銷售額為1682億元,這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 1682×108 B. 16.82×1010 C. 1.682×1010 D. 1.682×1011
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【題目】一個多項式與x2﹣2x+1的和是3x﹣2,則這個多項式為( )
A.x2﹣5x+3
B.﹣x2+x﹣1
C.﹣x2+5x﹣3
D.x2﹣5x﹣13
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列去括號正確的是( )
A.﹣(a+b﹣c)=﹣a+b﹣c
B.﹣2(a+b﹣3c)=﹣2a﹣2b+6c
C.﹣(﹣a﹣b﹣c)=﹣a+b+c
D.﹣(a﹣b﹣c)=﹣a+b﹣c
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△ADC的是( 。
A. CB=CD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D. ∠B=∠D=90°
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