Question

【題目】如圖所示，在ΔABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F。

①求證：OE＝OF；

②當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并請(qǐng)說明理由。

③當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC邊的中點(diǎn)時(shí)，在ΔABC中添加一個(gè)什么條件后，四邊形AECF是正方形。（只需寫出一個(gè)條件，不必證明）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形；（3）添加∠ACB=90°

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證明；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷出結(jié)果；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上添加一個(gè)角是直角即可得到矩形。

試題解析：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理：OF=OC，

∴OE=OF.

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形；

理由：如圖，AO=CO，EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形；

∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理：∠ACF=∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACG)= ×180°=90°

∴四邊形AECF是平行矩形；

（3）添加∠ACB=90°.