Question

已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
（1）寫出方程ax²+bx+c=0的兩個根；
（2）寫出當(dāng)y大于0時x的取值范圍；
（3）x為何值時，y隨x的增大而增大；
（4）若方程ax²+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意先求得二次函數(shù)的解析式，令y=0，求出x，即為方程的兩個根；
（2）當(dāng)y大于0時，即圖象在一二象限內(nèi)的部分，從而得出x的取值范圍．
（3）拋物線開口向下，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大；
（4）將方程ax²+bx+c=k化為一般式，當(dāng)判別式大于0時，再求得k的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-h）²+k，
根據(jù)題意得h=-1，k=2，再將（-3，0）代入y=a（x+1）²+2，
解得a=-

1

2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

（x+1）²+2，
即y=-

1

2

x²-x+

3

2

，
令y=0，解得x=1或-3，
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（1，0）（-3，0），
∴方程ax²+bx+c=0的兩個根為x₁=1，x₂=-3；
（2）由圖象和（1）得當(dāng)-3＜x＜1時，y的值大于0；
（3）當(dāng)x＜-1時，y隨x的增大而增大；
（4）由圖可知，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點（-3，0），與y軸交于點（0，1.5），對稱軸為x=1．
∴拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸的另一個交點為（1，0）．
∴可列方程組為

9a-3b+1.5=0 a+b+1.5=0

解得

a=- 1 2 b=-1 ，

∴解析式為y=-

1

2

x2-x+

3

2

．
∵ax²+bx+c=k，
∴ax²+bx+c-k=0．
∵方程ax²+bx+c=k有兩個不相等的實數(shù)根，
∴b²-4a（c-k）＞0．
解得k＜2．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及拋物線與x軸的交點問題，是重點內(nèi)容，要熟練掌握．