Question

已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)按順時(shí)針?lè)较蜓亍鰽BC的邊運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即停止．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為1厘米/秒、2厘米/秒，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．

（1）當(dāng)時(shí)間為何值時(shí)，以P、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2厘米²；

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，陰影部分的形狀隨之變化．設(shè)PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S（厘米²），求出S與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍；

（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請(qǐng)求出最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）S_△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2，      

　　　解得　＝1，＝2                         

∴當(dāng)時(shí)間為1秒或2秒時(shí)，S_△PCQ＝2厘米²；     

（2）①當(dāng)0＜≤2時(shí)，S＝＝；

　 ②當(dāng)2＜≤3時(shí)， S＝＝；

　 ③當(dāng)3＜≤4.5時(shí)，S＝＝；

（3）有；                                                             

①在0＜≤2時(shí)，當(dāng)＝，S有最大值，S₁＝；  

　　

    ②在2＜≤3時(shí)，當(dāng)＝3，S有最大值，S₂＝；       

   

    ③在3＜≤4.5時(shí)，當(dāng)＝，S有最大值，S₃＝；

∵S₁＜S₂＜S₃∴＝時(shí)，S有最大值，S_最大值＝． 

【解析】（1）由于PC=3﹣t，CQ=2t，∠C=90°，可表示S_△PCQ，從而求出t的值；

（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分三種可能情況：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，③當(dāng)3＜t≤4.5時(shí)，分別表示陰影部分面積，在②中，S=S_△ABC﹣S_△APQ，由，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米，用勾股定理可求AB=5厘米，作AB邊上的高PH，利用相似比表示PH，再表示面積；

（3）用（2）的結(jié)論，分別求出每一種情況下的最大值（注意自變量取值范圍），再比較，求出整個(gè)過(guò)程中的最大值．