【題目】如圖,對稱軸為x1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),B2,﹣3)兩點.

1)求拋物線的解析式;

2P是拋物線上的動點,連接PO交直線AB于點Q,當QOP中點時,求點P的坐標;

3C在直線AB上,D在拋物線上,E在坐標平面內,以BC,D,E為頂點的四邊形為正方形,直接寫出點E的坐標.

【答案】1yx22x3;(2)點P,)或(,);(3)點E的坐標為:(2,﹣1)或(1,﹣4)或(0,﹣3)或(2,﹣5).

【解析】

1)先根據(jù)拋物線的對稱性確定拋物線與x軸的另外一個交點坐標,再利用待定系數(shù)法求解即可;

2)先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,再設出點P坐標,由QOP中點即可表示出點Q坐標,然后把點Q代入直線AB的解析式,解方程即可求出結果;

3)分BC為正方形的對角線、BC是正方形的一條邊兩種情況,畫出圖形,分別根據(jù)正方形的性質求解即可.

解:(1)對稱軸為x1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),則拋物線與x軸的另外一個交點坐標為:(30),

設拋物線的表達式為:yax+1)(x3),將點B的坐標代入上式并解得:a1,

故拋物線的表達式為:y=(x+1)(x3)=x22x3;

2)設直線AB的解析式為:

將點A、B的坐標代入,得:,

解得:,

∴直線AB的表達式為:y=﹣x1

設點Pm,m22m3),當QOP中點時,則點Qm,),

將點Q的坐標代入直線AB 的表達式,得,

解得:m,

故點P)或(,);

3)①當BC為正方形的對角線時,如圖1所示,

∵直線AB的表達式為:y=﹣x1,則點C0,﹣1),點D0,﹣3),

BECD2,故點E12,﹣1);

②當BC是正方形的一條邊時,

(Ⅰ)當點DBC下方時,如圖2所示,

拋物線頂點P的坐標為:(1,﹣4),點B2,﹣3),可得PBBC,

有圖示兩種情況,左圖,點C、E的橫坐標相同,在函數(shù)對稱軸上,故點E21,﹣4);

此時,點DE的位置可以互換,故點E30,﹣3);

右圖,點B、E的橫坐標相同,

D1,﹣4),∴E42,﹣5);

(Ⅱ)當點DAB上方時,此時要求點B與點D橫坐標相同,這是不可能的,故不存在;

綜上,點E的坐標為:(2,﹣1)或(1,﹣4)或(0,﹣3)或(2,﹣5).

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