Question

【題目】如圖，矩形ABCD 中，AD=4cm，AB=6cm，動(dòng)點(diǎn) E從 B向A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從 C向B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3cm；任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)。連接CE、DF交于點(diǎn)P，連接BP，

（1）求證：△EBC ∽ △FCD

（2）BP最小值是多少？此時(shí)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)了多少秒？

（3）在該運(yùn)動(dòng)過程中， tan∠PAD的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BP最小值是2，此時(shí)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)了1秒；（3）最大值為

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速度可得，易證△EBC ∽ △FCD；

（2）由（1）可得∠DPC=90°，推出點(diǎn)P落在以CD為直徑的圓弧上，當(dāng)點(diǎn)B、P、G共線時(shí)，BP取最小值，此時(shí)可求出BP；作GH∥BC，利用相似三角形△BFP∽△GHP,可求出t.

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，∠PAD的角度逐漸變大，所以當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，tan∠PAD最大，過點(diǎn)P作MN∥AB，由△BPC∽△CPD，△BNP∽△DMP和△BNP∽△BCD，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出此時(shí)PM、BN的長度，易得tan∠PAD.

解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則BE=2t，CF=3t，

∴，

又∵∠EBC=∠FCD=90°，

∴△EBC∽△FCD；

（2）∵△EBC∽△FCD，

∴∠ECB=∠FDC，

∵∠FDC+∠DFC=90°，

∴∠ECB+∠DFC=90°，

∴∠FPC=90°，即∠DPC=90°，

故點(diǎn)P落在以CD為直徑的圓弧上，如圖1，

令CD中點(diǎn)為G，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

∴當(dāng)點(diǎn)B、P、G共線時(shí)，BP取最小值，

∴CG=，

∴BG=，

∴BP=BG-GP=5-3=2，

作GH∥BC，

則△BFP∽△GHP,GH=，BF=4-3t，

∴，即，

解得：t=1；

（3）根據(jù)題意可知，在運(yùn)動(dòng)過程中，∠PAD的角度逐漸變大，

∴當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，tan∠PAD最大，

如圖2，過點(diǎn)P作MN∥AB，

由∠BPC=90°易證△BPC∽△CPD，

∴，

設(shè)BP=2a，則PC=3a，PD=，

∵AD∥BC，

∴△BNP∽△DMP，

∴，

∴PM=，

由△BNP∽△BCD，可得，

∴BN=，

∴tan∠PAD=.