Question

【題目】如圖1，點(diǎn)B是線段AD上一點(diǎn)，△ABC和△BDE分別是等邊三角形，連接AE和CD．

（1）求證：AE＝CD；

（2）如圖2，點(diǎn)P、Q分別是AE、CD的中點(diǎn)，試判斷△PBQ的形狀，并證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS證明△ABE≌△CBD即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)△ABE≌△CBD，可得AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，再根據(jù)點(diǎn)P、Q分別是AE、CD的中點(diǎn)和SAS即可證明△ABP≌△CBQ，從而得∠PBA＝∠QBC，PB＝QB，進(jìn)一步即可推得∠QBP＝∠ABC＝60°，由此可判斷△PBQ的形狀.

（1）證明：∵△ABC和△BDE分別是等邊三角形，

∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°，

∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，

在△ABE和△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴AE＝CD．

（2）解：△PBQ是等邊三角形．

證明如下：由（1）證明可知：△ABE≌△CBD，

∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，

∵點(diǎn)P、Q分別是AE、CD的中點(diǎn)，

∴AP＝AE，CQ＝CD，∴AP＝CQ，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴∠PBA＝∠QBC，PB＝QB，

∴∠QBP＝∠PBC+∠QBC＝∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴△PBQ是等邊三角形．