Question

【題目】 定義：在凸四邊形中，我們把兩組對邊乘積的和等于對角線的乘積的四邊形稱為“完美四邊形”

（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四邊形”的是______．

（2）如圖1，在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，D為平面內(nèi)一點(diǎn)，以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為“完美四邊形”，若DA，DC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m為常數(shù))的兩個根，求線段BD的長度．

（3）如圖2，在“完美四邊形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四邊形”EFGH面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）正方形、矩形；（2）3；（3）49．

【解析】

（1）根據(jù)“完美四邊形”的定義即可判斷．

（2）利用一元二次方程的根的判別式求出m的值，推出AD=DC=2，判斷出點(diǎn)D的位置即可解決問題．

（3）由完美四邊形的定義以及托勒密定理的逆定理可知：四邊形EFGH是圓的內(nèi)接四邊形，圓心是EC的中點(diǎn)O．當(dāng)點(diǎn)H是的中點(diǎn)時，△EGH的面積最大，此時四邊形EFGH的面積最大．

解：（1）根據(jù)完美四邊形的定義，可知“正方形”、“矩形”是完美四邊形．

故答案為：“正方形”、“矩形”．

（2）∵關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0，有實(shí)數(shù)根，

∴△=(m+3)2-4×(5m2-2m+13)=-4(m-1)2≥0，

∴m=1，△=0，

∴方程為：x2-4x+4=0，

∴x1=x2=2，

∴AD=DC=2，

當(dāng)點(diǎn)D在AC的下方，如圖1中，

∵四邊形ABCD是完美四邊形，

∴BDAC=CDAB+BCAD，

∴3BD=4+5，

∴BD=3．

當(dāng)點(diǎn)D在AC上方時，點(diǎn)D在線段BC上，不符合題意．

∴滿足條件的BD的長為3；

（3）如圖2中，

由完美四邊形的定義以及托勒密定理的逆定理可知：四邊形EFGH是圓的內(nèi)接四邊形，圓心是EC的中點(diǎn)O．

∵∠EFG=90°，EF=6，FG=8，

∴EG==10，

當(dāng)點(diǎn)H是的中點(diǎn)時，△EGH的面積最大，此時四邊形EFGH的面積最大，

∴HG=HE=5，

∴四邊形的面積的最大值=×6×8+×5×5=49．